问题补充:
如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=8,OC=4.现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,点P在线段OA上沿OA方向以每秒2个单位长的速度匀速运动,点Q在线段CO上沿CO方向以每秒1个单位长的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)填空:OP=______,OQ=______;(用含t的式子表示)
(2)试证明:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
(3)当∠QPB=90°时,抛物线经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于点N,交线段CB于点G,交x轴于点H,连结PG,BH,试探究:当线段MN的长取最大值时,判定四边形GPHB的形状.
答案:
解:(1)填空:OP=2t,OQ=4-t??????…
(2)根据题意,易知:AB=4,PA=(8-2t),BC=8,CQ=t
∴S四边形OPBQ=S四边形OABC-S△PAB-S△CBQ…
=4×8-AB×PA-BC×CQ
=32-×4×(8-2t)-×8×t
=32-16+4t-4t=16
∴四边形OPBQ的面积是一个定值,这个定值是16…
(3)当∠QPB=90°时,
易证:△OPQ~△ABP…
∴
∴
解得:t=1??或t=4(不合,舍去)
∴t=1
∴OP=2,即点P(2,0)…
又点B(8,4)、点P(2,0)在抛物线上,
可求得:,c=4
∴此时抛物线的解析式为…
由点P(2,0),点B(8,4)可求得直线PB的解析式为…
则根据题意设点M(x,),点?N(x,)…
∴MN=-
=
∴当x=5时,MN最大值为3…
此时PG=OG-OP=5-2=3,BH=CB-CH=8-5=3
∴PG与BH平行且相等
∴四边形GPHB是平行四边形.…
解析分析:(1)根据运动的速度即可求解;
(2)根据S四边形OPBQ=S四边形OABC-S△PAB-S△CBQ,分别利用t表示出S四边形OABC,S△PAB,S△CBQ,即可求解;
(3)易证:△OPQ~△ABP,根据相似三角形的对应边的比相等,即可求得t的值,则P的坐标可以求得,利用待定系数法即可求得函数的解析式,则MN的长度可以利用t表示出来,然后利用函数的性质即可求解.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点以及平行四边形的判定,正确求得MN的长是关键.
如图 在平面直角坐标系xOy中 矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上 OA=8 OC=4.现有两动点P Q分别从O C同时出发 点P在线段OA上沿OA方向以每秒2个单