问题补充:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径作⊙O交斜边AB于点D,E为AC上一点,延长ED、CB交于F点,且∠A+∠F=∠ABC.
(1)求证:直线EF为⊙O的切线;
(2)若tan∠A=,求tan∠F的值.
答案:
(1)证明:连OD、DC,如图,
∵BC为直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠ADC=90°,
∵∠ABC=∠F+∠BDF,
而∠A+∠F=∠ABC,
∴∠BDF=∠A,
又∵∠BDF=∠ADE,
∴∠A=∠ADE,
而∠ECD+∠A=∠EDC+∠ADE=90°,
∴∠ECD=∠EDC,
而∠ACB=90°,OD=OC,
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°,
∴直线EF为⊙O的切线;
(2)解:过D作DH⊥BC于H,如图,
∵∠ODH+∠DOB=90°,∠F+∠DOB=90°,
∴∠ODH=∠F,
∵∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠DCB=90°,
∴∠A=∠DCB,
在Rt△BCD中,tan∠DCB=,
而tan∠A=,
不妨设DB=3x,CD=4x,
?BC==5x,
∴OC=x,
∵OH?BC=CD?BD,
∴OH=x,
在Rt△ODH中,OH===x,
∴tan∠ODH===,
∴tan∠F=.
解析分析:(1)连OD、DC,根据圆周角定理的推论由BC为直径得到∠BDC=90°,则∠ADC=90°,根据三角形外角∠ABC=∠F+∠BDF,而∠A+∠F=∠ABC,则∠BDF=∠A,根据等角的余角相等得到∠ECD=∠EDC,而∠ECD+∠OCD=90°,易得∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)过D作DH⊥BC于H,根据等角的余角相等得到∠ODH=∠F,∠A=∠DCB,在Rt△BCD中,tan∠DCB=,不妨设DB=3x,CD=4x,利用勾股定理可计算出BC=5x,即半径为x,利用面积公式可计算出OH=x,在Rt△ODH中,利用勾股定理计算出OH=x,然后根据正切的定义得到tan∠ODH==,即可得到tan∠F的值.
点评:本题考查了切线的判定:经过半径的外端点,并且与半径垂直的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理的推论以及解直角三角形.
如图 在Rt△ABC中 ∠ACB=90° 以BC为直径作⊙O交斜边AB于点D E为AC上一点 延长ED CB交于F点 且∠A+∠F=∠ABC.(1)求证:直线EF为⊙