问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,已知△OAB是等腰三角形(OB为底边),顶点A的坐标是(2,4),点B在x轴上,点Q的坐标是(-6,0),AD⊥x轴于点D,点C是AD的中点,点P是直线BC上的一动点.
(1)求点C的坐标.
(2)若直线QP与y轴交于点M,问:是否存在点P,使△QOM与△ABD相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)以点P为圆心、为半径长作圆,得到动圆⊙P,过点Q作⊙P的两条切线,切点分别是E、F.问:是否存在以Q、E、P、F为顶点的四边形的最小面积S?若存在,请求出S的值;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵△AOB是等腰三角形,顶点A的坐标是(2,4),
又∵AD⊥x轴于点D,点C是AD的中点,
∴C(2,2);
(2)∵△QOM与△ABD相似,而∠QOM=∠ADB=90°,
∴必有或,(图1)
又∵AD=4,BD=2,OQ=6,
∴OM=3或者12,
∴使条件成立的M点坐标可能是:
(0,3)或者(0,-3),(0,12)或者(0,-12),
又∵Q(-6,0),
∴①当M(0,3)时,直线QP的解析式是:;
②当M(0,-3)时,直线QP的解析式是:;
③当M(0,12)时,直线QP的解析式是:y=2x+12;
④当M(0,-12)时,直线QP的解析式是:y=-2x-12;
∵B(4,0),C(2,2),
∴直线BC的解析式是:y=-x+4;
分别解由直线QP与直线BC的解析式组成的方程组:
①,②,③,④
得:①,②,③,④
使△QOM与△BCD相似的点P的坐标是,(14,-10),或者(-16,20).
说明:以上解题过程中,每少一种情况扣,格式不对或解题不完整酌情扣分.
(3)以P为圆心、为半径作圆,过Q作此圆的两条切线,切点分别是E、F,连接PE、PF(图2).
则PE=PF=,PQ=PQ,∠PEQ=∠PFQ=90°,
∴△PEQ≌△PFQ;
∴.
∵QE2=PQ2-PE2=PQ2-2,
当点P在直线BC上移动时,QE的大小由PQ的大小确定,PQ最小时,QE达到最小,从而使四边形QEPF的面积最小.显然,在所有点Q到直线BC的距离中,当QP⊥BC时QP的长是最小的,
∴此时四边形QEPF的面积即为最小面积.
当QP⊥BC于P时,∠QPB=∠BDC=90°,∠PBQ=∠DBC,
故△PBQ∽△DBC,
∴,而CD=2,BD=2,
∴BC=,
∴∴PQ=,
∴,
∴四边形QEPF的最小面积=.
说明:解法不同参考给分,格式不对或解题不完整酌情扣分.
解析分析:(1)由题意知AD⊥x轴于点D,点C是AD的中点,所以C(2,2);
(2)假设存在点P使△QOM与△ABD相似,则由已知条件和相似三角形的性质得知或,继而求得使条件成立的M点坐标可能是:(0,3)或者(0,-3),(0,12)或者(0,-12);不同的坐标对应直线PQ不同的解析式;然后解由直线QP与直线BC的解析式组成的方程组,求得点M的坐标;
(3)以P为圆心、2为半径作圆,过Q作此圆的两条切线,切点分别是E、F,连接PE、PF(图2);根据切线的性质来证明△PEQ≌△PFQ,S四边形QEPF=2QE,当点P在直线BC上移动时,QE的大小由PQ的大小确定,PQ最小时,QE达到最小,从而使四边形QEPF的面积最小.显然,在所有点Q到直线BC的距离中,当QP⊥BC时QP的长是最小的,所以此时四边形QEPF的面积即为最小面积.
点评:本题是综合性比较强的一道题,它集相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理以及切线的性质,是难度较大的题型.
如图 在平面直角坐标系中 已知△OAB是等腰三角形(OB为底边) 顶点A的坐标是(2 4) 点B在x轴上 点Q的坐标是(-6 0) AD⊥x轴于点D 点C是AD的中点