问题补充:
如图,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA=PB,延长BO分别与⊙O切线PA相交于点C、Q两点.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)D为PB的中点,QD交AB于点E,若⊙O的半径为3,CQ=2,求的值.
答案:
(1)证明:连结OA,如图,
∵PA是⊙O的切线,
∴OA⊥PA,
∴∠OAP=90°,
在△POA和△POB中
,
∴△POA≌△POB(SSS),
∴∠OBP=∠OAP=90°,
∴OB⊥PB,
∴PB是⊙O的切线;
(2)AB与OP交于H,连结DH,如图,
在Rt△OCA中,OQ=OC+CQ=3+2=5,OA=3,则AQ==4,
设PA=x,则PB=x,PQ=4+x,
在Rt△PBQ中,∵BQ2+BP2=PQ2,
∴82+x2=(x+4)2,解得x=6,
∴PA=PB=6,
∵PA与PB为⊙O的切线,
∴OP平分∠BPA,
∴OP垂直平分AB,即点H为AB的中点,
∵D为PB的中点,
∴DH为△BAP的中位线,
∴DH=PA=3,DH∥PA,
∵DH∥AQ,
∴△DHE∽△QEA,
∴==,
设AE=4t,HE=3t,则AH=AE+HE=7t,
∴BE=BH+HE=AH+HE=7t+3t=10t,
∴==.
解析分析:(1)根据切线的性质由PA是⊙O的切线得到∠OAP=90°,再利用“SSS”判断△POA≌△POB,则∠OBP=∠OAP=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)先用勾股定理计算出AQ=4,再计算出AP=6,利用切线长定理可得到H点为AB的中点,易得DH为△BAP的中位线,则DH=PA=3,DH∥PA,利用DH∥AQ得到△DHE∽△QEA,所以==,设AE=4t,HE=3t,则AH=AE+HE=7t,于是BE=BH+HE=AH+HE=10t,最后计算.
点评:本题考查了切线的判定与性质:圆的切线垂直于经过切点的半径;经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质.
如图 P是⊙O外一点 PA是⊙O的切线 A是切点 B是⊙O上一点 且PA=PB 延长BO分别与⊙O切线PA相交于点C Q两点.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)D为