问题补充:
如图1,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)连结CA,CB,对称轴x=1与线段AB交于点D,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;
(3)如图2,点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵抛物线的顶点为(1,4),
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,
把点A(3,0)代入得:0=a(3-1)2+4,
解得:a=-1,
∴抛物线的解析式为:y=-(x-1)2+4,
即y=-x2+2x+3,
当x=0时,y=3,
∴点B的坐标为(0,3),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把点(3,0),B(0,3)代入得,,
解得,
∴直线的解析式为:y=-x+3;
(2)把x=1代入y=-x+3得:y=2,
则CD=4-2=2,
设对称轴x=1与x轴交于点H,
S△CAB=CD?OH+CD?HA=CD?OA=×2×3=3;
(3)过点P作PE⊥x轴交线段AB于点F,
设点P(x,-x2+2x+3),则点F(x,-x+3),PF=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,
S△PAB=PF?OA=×3(-x2+3x)=-x2+x(0<x<3),
要使S△PAB=S△CAB,
则有-x2+x=×3,即4x2-12x+9=0,
解得:x1=x2=,
当x=时,y=-x2+2x+3=,
∴点P的坐标为(,).
解析分析:(1)根据顶点坐标可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将点A的坐标代入,求出a的值,即可求得抛物线的解析式,由A、B坐标可求出直线AB的解析式;
(2)求出点D的纵坐标,再由点V的纵坐标即可得出CD的长度;
(3)过点P作PE⊥x轴交线段AB于点F,设点P(x,-x2+2x+3),则点F(x,-x+3),PF=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,表示出S△PAB,再由S△PAB=S△CAB,可得关于x的方程,解出即可.
点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、一元二次方程的解,第一、第二问相对较简单,难点在第三问,关键是设出点P坐标,得出点F坐标,表示出PF的长度,根据S△PAB=S△CAB建立方程.
如图1 抛物线顶点坐标为点C(1 4) 交x轴于点A(3 0) 交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)连结CA CB 对称轴x=1与线段AB交于点D