问题补充:
如图1,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.
(1)求证:CE=CF.
(2)点E′在BC边上,点F′、点D′在AB边上,△ADE≌△F′D′E′,其它条件不变,如图2所示,试猜:BE′与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
答案:
解:(1)∵直角△ACF中,∠1+∠3=90°,
又∵直角△ADE中,∠2+∠4=90°,且∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∵∠4=∠5,
∴∠3=∠5,
∴CE=CF;
(2)结论:BE′=CF
证明:作EH⊥AC与H.
∵∠1=∠2,
∴EH=ED,
又∵△ADE≌△F′D′E′,
∴ED=E′D′,
∴EH=E′D′,
∵直角△ACD中,∠CAB+∠6=90°,
直角△ABC中,∠CAB+∠B=90°,
∴∠6=∠B,
在△E′BD′和△ECH中,
,
∴△E′BD′≌△ECH,
∴CE=E′B,
∵CE=CF,
∴BE′=CF.
解析分析:(1)利用直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等,即可证得∠3=∠5,根据等角对等边证明CE=CF;
(2)作EH⊥AC与H,△E′BD′≌△ECH得到CE=E′B,根据CE=CF,即可得到BE′=CF.
点评:本题考查了角平分线的性质定理,依据全等三角形的判定与性质,证明线段相等的问题常用的方法就是转化成三角形相等问题.
如图1 ∠ACB=90° CD⊥AB 垂足为点D AF平分∠CAB 交CD于点E 交CB于点F.(1)求证:CE=CF.(2)点E′在BC边上 点F′ 点D′在AB边