问题补充:
已知双曲线y=(k>0),过点M(m,m)(m>)作MA⊥x轴,MB⊥y轴,垂足分别是A和B,MA、MB分别交双曲线y=(k>0)于点E、F.
(1)若k=2,m=3,求直线EF的解析式;
(2)O为坐标原点,连接OF,若∠BOF=22.5°,多边形BOAEF的面积是2,求k值.
答案:
解:(1)将k=2,m=3代入得:反比例解析式为y=,M(3,3),
∵MA⊥x轴,MB⊥y轴,
∴E的横坐标为3,F纵坐标为3,
代入反比例解析式得:E(3,),F(,3),
设直线EF解析式为y=kx+b,
将E与F坐标代入得:,
解得:,
则直线EF解析式为y=-x+;
(2)连接OM,EF,OE,OM与EF交于点C,
∵M(m,m),反比例解析式为y=,
∴E(m,),F(,m),即E与F关于y=x对称,四边形AOBM为正方形,
∵∠BOF=22.5°,
∴∠BOF=∠COF=∠EOC=∠AOE=22.5°,
由对称性得到∠FCO=∠ECO=90°,
在△BOF和△AOE中,
,
∴△BOF≌△AOE(ASA),
同理△BOF≌△COF,△COF≌△AOE,
∴BF=AE=,
又BM=AM=m,
∴S△BOF=m?=k,
∴S五边形BOAEF=4S△BOF=2k=2,
则k=1.
解析分析:(1)将k的值代入确定出反比例解析式,将m的值代入确定出M坐标,根据图形得到E的横坐标与F的纵坐标都为3,代入反比例解析式中确定出E与F坐标,设直线EF解析式为y=kx+b,将E与F坐标代入求出k与b的值,即可确定出直线EF的解析式;
(2)连接EF,OM,OE,由M横纵坐标相等得到四边形AOBM为正方形,由正方形的性质及∠BOF=22.5°,得到三角形BOF、三角形FCO、三角形ECO及三角形AOE全等,三角形BOF的面积等于|k|的一半,表示出四个面积之和,即为五边形BOAEF的面积,根据五边形的面积为2列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值.
点评:此题考查了反比例函数综合题,涉及的知识有:正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,反比例函数k的几何意义,坐标与图形性质,以及待定系数法求一次函数解析式,灵活运用待定系数法是解本题第一问的关键.
已知双曲线y=(k>0) 过点M(m m)(m>)作MA⊥x轴 MB⊥y轴 垂足分别是A和B MA MB分别交双曲线y=(k>0)于点E F.(1)若k=2 m=3