问题补充:
如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点.
(1)四边形EFGH是平行四边形吗,为什么?
(2)若使四边形ABCD对角线相等,那么四边形EFGH为菱形吗?
(3)当四边形EFGH为矩形,正方形时,那么四边形ABCD各应满足什么条件?
(4)请补上你所认为四边形ABCD应满足的条件,证明四边形EFGH为矩形.
答案:
解:(1)四边形EFGH是平行四边形,
连接AC、BD,
∵在△ABD中,E、H分别为AB、AD的中点,
∴EH平行且等于BD.
∵在△BCD中,F、G分别为BC、CD的中点,
∴GF平行且等于BD.????????????????????????????????????????????????? ?
∴EH平行且等于GF.
∴四边形EFGH是平行四边形.??????????????????????????????????????????? ?
(2)四边形EFGH是菱形.????????????????????????????????????????????????
(3)当四边形EFGH为矩形时,
AC⊥BD(四边形ABCD为菱形、正方形或者对角线互相垂直的四边形);
当四边形EFGH为正方形时AC、BD互相垂直且相等
(4)设AC⊥BD于O,EF、BD交于M,EH、AC交于N,
根据(1)的推理可得EF∥AC,EH∥BD,
∴EMON为平行四边形.
∵AC⊥BD,∴∠MON=90°.
∴EMON为矩形,∴∠HEF=90°.
同理可得,∠EHG=90°,∠EFG=90°.
∴四边形EFGH为矩形.??????
解析分析:(1)四边形EFGH是平行四边形.连接AC、BD,根据中位线定理可得,四边形EFGH的一组对边平行且相等,则四边形EFGH是平行四边形;
(2)如果四边形ABCD对角线相等,根据(1)的推理可得四边形EFGH的四边相等,那么四边形EFGH为菱形;
(3)当四边形EFGH为矩形时,AC⊥BD;当四边形EFGH为正方形时AC、BD互相垂直且相等.
(4)证明三个内角等于90°即可.
点评:此题综合性强,主要考查了中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定.
如图所示 E F G H分别是四边形ABCD的边AB BC CD AD的中点.(1)四边形EFGH是平行四边形吗 为什么?(2)若使四边形ABCD对角线相等 那么四边