问题补充:
如图,等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,点P在AC上,将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.
(1)求∠PCQ的度数;
(2)当AB=4,AP:PC=1:3时,求PQ的大小;
(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A重合),请写出一个反映PA2,PC2,PB2之间关系的等式,并加以证明.
答案:
解:(1)由题意知,△ABP≌△CQB,
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°,∠ABP=∠CPQ,AP=CQ,PB=BQ,
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°,∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°,
∴△BPQ是等腰直角三角形,△PCQ是直角三角形.
(2)当AB=4,AP:PC=1:3时,有AC=4,AP=,PC=3,
∴PQ==2.
(3)存在2PB2=PA2+PC2,
由于△BPQ是等腰直角三角形,
∴PQ=PB,
∵AP=CQ,
∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2,
故有2PB2=PA2+PC2.
解析分析:(1)由于∠PCB=∠BCQ=45°,故有PCQ=90°.
(2)由等腰直角三角形的性质知,AC=4,根据已知条件,可求得AP,PC的值,再由勾股定理求得PQ的值.
(3)由于△PBQ也是等腰直角三角形,故有PQ2=2PB2=PA2+PC2.
点评:本题利用了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理求解.
如图 等腰直角△ABC中 ∠ABC=90° 点P在AC上 将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ.(1)求∠PCQ的度数;(2)当AB=4 AP:PC