问题补充:
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,点E、F在边BC上,BE=CF,EF=AD.
求证:四边形AEFD是矩形.
答案:
证明:
证法一:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,又∵EF=AD,
∴四边形AEFD是平行四边形.
∴AD∥DF,∴∠AEF=∠DFC.
∵AB=CD,∴∠B=∠C.
又∵BE=CF,∴△ABE≌△DCF.
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠AEB=∠AEF.
∵∠AEB+∠AEF=180°,∴∠AEF=90°.
∴四边形AEFD是矩形.
证法二:连接AF、DE.
∵在梯形ABCD中,AD∥BC,又∵EF=AD,
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AB=CD,∴∠B=∠C.
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
∴△ABF≌△DCE.
∴AF=DE,
∴四边形AEFD是矩形.
解析分析:先证明四边形AEFD是平行四边形,再证明∠AEF或∠DFE是直角;或运用“对角线相等的平行四边形是矩形”进行证明,即需证明AF=DE.可证明△ABF与△DCE全等.
点评:此题考查等腰梯形的性质和矩形的判定、全等三角形的判定及性质等知识点,难度中等.