问题补充:
如图1,抛物线y=-(x-3)(x-m+1)与x轴交于点A、B(B在x轴负半轴),与y轴交于点E,直线y=(m+1)x-3经过点A,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,直线y=kx(k<0)交直线AC于点P,交抛物线于点M,过点M作x轴的垂线交直线AC于点N.请问:是否存在实数k,使经过点P、M、N三点的圆的圆心恰好在∠MPN的平分线上?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,动点G、K都以1个单位/秒的速度分别从A、C两点同时出发,沿x轴、y轴向点O运动,经过t秒后(0<t<3)到达如图的位置,延长EG交AK于F,不论t取何值,对于等式①;②∠AEG=∠AKG,其中,有一个恒成立,请判断哪一个恒成立,并证明这个成立的结论.
答案:
解:(1)抛物线y=-(x-3)(x-m+1)与x轴交于点A、B(B在x轴负半轴),
∴A点坐标为:(3,0).
∴代入直线y=(m+1)x-3,
∴0=3m+3-3,
∴m=0,
∴y=-x2+2x+3;
(2)k=-1;
因为△PMN外心既在三边的中垂线上又在内角∠MPN的平分线上,
所以△PMN为等腰三角形,MN为底边.又因为△POC∽△PMN,
∵∠PCO=45°∴∠POC=45°,∵OC=3,
∴点P,代入y=kx,所以k=-1.
(3)②成立,过点G作GH⊥AG交AE于H点,
则△AGH为等腰直角三角形,
所以AH=,
则HE=,
因为OG=OK=3-t,
所以KG=,
于是EH=KG,
因为GH=GA,∠EHG=∠KGA=135°,
所以△EHG≌△KGA,
所以∠AEG=∠AKG.(注:①为定值)
解析分析:(1)根据抛物线y=-(x-3)(x-m+1)与x轴交于点A、B(B在x轴负半轴),可得A点坐标为:(3,0).即可求出m的值,进而得出二次函数解析式;
(2)利用△PMN外心既在三边的中垂线上,又在内角∠MPN的平分线上,得出△PMN为等腰三角形,MN为底边.又因为△POC∽△PMN,进而求出即可;
(3)利用已知证明△EHG≌△KGA,从而得出∠AEG=∠AKG.
点评:此题主要考查了二次函数的综合应用,得出A点坐标以及利用三角形相似得出是解决问题的关键.
如图1 抛物线y=-(x-3)(x-m+1)与x轴交于点A B(B在x轴负半轴) 与y轴交于点E 直线y=(m+1)x-3经过点A 交y轴于点C.(1)求抛物线的解析