问题补充:
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,P是BC上的一个动点,PE⊥AB,PF⊥CD,CM⊥AB,垂足分别为E、F、M,则PE、PF、CM三者间存在怎样的数量关系?证明你的结论.
答案:
解:PE+PF=CM.
证明:如图所示,作PN⊥CM,
∵PE⊥AB,CM⊥AB,∴四边形EPNM为矩形,
∴PE=MN,PN∥AB,
故∠NPC=∠ABC.
由等腰梯形ABCD得∠ABC=∠BCD.
∴∠CPN=∠PCF.
在Rt△CPN和Rt△PCF中,
∠PNC=∠CFP=90°,∠CPN=∠PCF,PC=PC,
∴△CPN≌△PCF,
∴CN=PF,即PE+PF=MN+CN=CM.
解法二:
延长BA、CD交于O,连接PO,
则S△OBC=S△OPB+S△OPC,
即OB×PE+OC×PF=OB×CM,
而由等腰梯形ABCD得:∠ABC=∠DCB,
即OB=OC,
∴PE+PF=CM.
解析分析:画图作辅助线PN⊥CM,由题意PE⊥AB,CM⊥AB,所以四边形EPNM为矩形,根据PN∥AB可以得出∠NPC=∠ABC,进而得出∠CPN=∠PCF,有PC为公共边,可以得出Rt△CPN和Rt△PCF全等,即CN=PF,即可得出结论:PE+PF=CM.
点评:本题考查了等腰梯形的性质,对于特殊的图形,要求熟练地掌握各个知识点,这是解题的关键.
如图 在等腰梯形ABCD中 AD∥BC AB=DC P是BC上的一个动点 PE⊥AB PF⊥CD CM⊥AB 垂足分别为E F M 则PE PF CM三者间存在怎样的