问题补充:
如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BC=DC,∠BAD=120°
(1)求证:AB=AD;
(2)如图2,点M在边CD上(端点除外),点N在边BC上,∠MAN=∠BCD,连接MN
①试判断线段BN、NM、MD之间的数量关系,并给出证明;
②若CM=4,DM=1,则CN的长为______(请直接写出)
⊥⊥
答案:
(1)证明:连接AC,
在Rt△ABC和Rt△ADC中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴AB=AD;
(2)解:①如图,把△ADM绕点A顺时针旋转120°得到△ABH,
∴AH=AM,BN=MD,∠BAH=∠DAM,
在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=120°,
∴∠BCD=360°-90°×2-120°=60°,
∵∠MAN=∠BCD,
∴∠NAH=∠BAH+∠BAN=∠DAM+∠BAN=∠BAD-∠MAN=120°-60°=60°,
∴∠NAH=∠NAM,
在△AMN和△AHN中,
,
∴△AMN≌△AHN(SAS),
∴NM=NH,
∵NH=BN+BH=BN+DM,
∴NM=BN+DM;
②连接AC,过点M作ME⊥AC于E,
∵Rt△ABC≌Rt△ADC,∠BCD=60°,
∴∠ACD=×60°=30°,
∴ME=CM=×4=2,CE=CM?cos30°=4×=2,
AC=CD÷cos30°=(4+1)÷=,
AD=CD?tan30°=(4+1)?=,
∴AE=AC-CE=-2=,
AB=AD=,
∵∠BAN+∠CAN=90°-30°=60°,
∠EAM+∠CAN=∠MAN=60°,
∴∠BAN=∠EAM,
又∵∠B=∠AEM=90°,
∴△ABN∽△AEM,
∴=,
即=,
解得BN=,
∴CN=BC-BN=DC-BN=(4+1)-=.
解析分析:(1)连接AC,利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)①把△ADM绕点A顺时针旋转120°得到△ABH,根据旋转的性质可得AH=AM,BN=DM,∠BAH=∠DAM,根据四边形的内角和定理求出∠BCD=60°,然后求出求出∠NAH=60°,从而得到∠NAH=∠NAM,再利用“边角边”证明△AMN和△AHN全等,根据全等三角形对应边相等可得NM=NH,然后整理即可得解;
②连接AC,过点M作ME⊥AC于E,然后求出ME、CE、AC、AD,再求出AE,然后求出∠BAN=∠EAM,然后根据两组角对应相等,两三角形相似求出△ABN和△AEM相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BN,再根据CN=BC-BN代入数据进行计算即可得解.
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,相似三角形的判定与性质,(2)①难点在于利用旋转作出全等三角形,②难点在于作辅助线构造出相似三角形.
如图1 在四边形ABCD中 ∠ABC=∠ADC=90° BC=DC ∠BAD=120°(1)求证:AB=AD;(2)如图2 点M在边CD上(端点除外) 点N在边BC上