问题补充:
已知:如图,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作DE⊥AC于点E,交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=BD;
(2)求证:DF是⊙O的切线;
(3)若⊙O的半径为3,sin∠F=,求DE的长.
答案:
(1)证明:如图,连接CD,
∵BC是直径,
∴∠BDC=90°,
即CD⊥AB.
∵AC=BC,
∴AD=BD.
(2)证明:连接OD,
∵∠A=∠B,∠AED=∠BDC=90°,
∴∠ADE=∠DCO.
∵OC=OD,
∴∠DCO=∠CDO.
∴∠CDO=∠ADE.
由(1)得∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠CDO+∠CDE=90°.
即∠ODF=90°.
∴DF是⊙O的切线.
(3)解:在Rt△DOF中,
∵sin∠F=,
∴OF=5.
∵OC=3,
∴CF=5-3=2.
由(2)得∠DEA=∠ODF=90°,
∴OD∥AC.
∴△CEF∽△ODF.
∴.
即.
∴DE=.
解析分析:(1)连接CD,由圆周角定理易得CD⊥AB,又有AC=BC,故AD=BD.
(2)连接OD,根据三角形中角的互余关系可得∠ODF=90°,故DF是⊙O的切线.
(3)根据三角函数的定义,可得sin∠F=,进而可得CF=5-3=2,再根据比例的关系,代入数据可得
已知:如图 在△ABC中 AC=BC 以BC为直径的⊙O交AB于点D 过点D作DE⊥AC于点E 交BC的延长线于点F.(1)求证:AD=BD;(2)求证:DF是⊙O的