问题补充:
等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,面积S=9,建立如图所示的直角坐标系,已知A(1,0)、B(0,3).
(1)求C、D两点坐标;
(2)取点E(0,1),连接DE并延长交AB于F,求证:DF⊥AB;
(3)将梯形ABCD绕A点旋转180°到AB′C′D′,求对称轴平行于y轴,且经过A、B′、C′三点的抛物线的解析式;
(4)是否存在这样的直线,满足以下条件:①平行于x轴,②与(3)中的抛物线有两个交点,且这两交点和(3)中的抛物线的顶点恰是一个等边三角形的三个顶点?若存在,求出这个等边三角形的面积;若不存在,请说明理由.
答案:
(1)解:依题意设C(-m,3),则D(-m-1,0),BC=m,AD=m+2,
由梯形面积公式得(m+m+2)×3÷2=9,
解得m=2,
∴C(-2,3),D(-3,0);
(2)证明:∵OD=OB=3,∠DOE=∠BOA=90°,OE=OA=1,
∴△ODE≌△OBA,
∴∠DEO=∠A,∠EDO+∠DEO=90°,
∴∠A+∠EDO=90°
∴DF⊥AB;
(3)解:由旋转的性质可得B(2,-3),C(4,-3)又A(1,0),
设抛物线解析式y=ax2+bx+c,
代入得,
解得,
∴y=x2-6x+5;
(4)解:存在,设等边三角形边长为2n,
∵抛物线对称轴是x=3,顶点坐标(3,-4)
则其中右交点为(n+3,n2-4),等边三角形高为n2-4-(-4)=n2;
由等边三角形底,高的关系得n=n2;
∴n=,
此时等边三角形边长为2,高为3,面积为3.
解析分析:(1)依题意设C(-m,3),则D(-m-1,0),根据梯形面积公式可求m=2,求出C,D两点坐标;
(2)通过证明△ODE≌△OBA,利用互余关系可证DF⊥AB;
(3)利用中心对称画图,由对称性可确定A,B,C三点坐标,再求出抛物线解析式;
(4)可根据等边三角形的高与边长的关系,建立等式求解;
点评:本题考查了点的坐标、二次函数解析式求法,会用全等三角形解决垂直问题,会在图形中解决特殊三角形的应该问题,本题综合性很强.
等腰梯形ABCD中 AD∥BC AB=CD 面积S=9 建立如图所示的直角坐标系 已知A(1 0) B(0 3).(1)求C D两点坐标;(2)取点E(0 1) 连接