问题补充:
如图,已知C、D是双曲线在第一象限内的分支上的两点,直线CD分别交x轴,y轴于A、B两点,过点C作CG⊥x轴于点G,设C、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),连结OC、OD.
(1)求证:;
(2)若,求直线CD的解析式.
答案:
解:(1)∵点C(x1,y1)在双曲线y=上,
∴x1=,
∵在Rt△OCG中,CG<OC<CG+OG,
∴y1<OC<y1+.
(2)设x1=a,则y1=3a,
在Rt△OCG中,OG2+CG2=OC2,即10a2=10,
解得:a1=1,a2=-1(点C在第一象限,故舍去),
∴点C的坐标为(1,3),
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得:3=,
解得:m=3,
∴反比例函数解析式为:y=,
设x2=3b,则y2=b,
即点D的坐标为(3b,b),代入反比例函数解析式可得:b=,
解得:b1=1,b2=-1(点D在第一象限,故舍去),
∴点D的坐标为(3,1),
设直线CD的解析式为:y=kx+b,
将点C(1,3),点D(3,1)代入可得:,
解得:,
故直线CD的解析式为:y=-x+4.
解析分析:(1)将三个部分在图上的对应线段理顺就一目了然:直角三角形中斜边大于直角边;三角形两边之和大于第三边.
(2)设x1=a,则y1=3a,在Rt△OCG中,利用勾股定理可得出a的值,继而求出点C的坐标,代入反比例函数解析式求出m,再由=可求出点D的坐标,利用待定系数法可确定直线CD的解析式.
点评:本题考查了反比例函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的三边关系及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握基础知识,掌握数形结合思想的运算,难度较大.
如图 已知C D是双曲线在第一象限内的分支上的两点 直线CD分别交x轴 y轴于A B两点 过点C作CG⊥x轴于点G 设C D的坐标分别为(x1 y1) (x2 y2)