问题补充:
如图所示,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、MN、FN,过△FMN三边的中点作△PQW.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
(1)说明△FMN∽△QWP;
(2)设0≤x≤4.试问x为何值时,△PQW为直角三角形?
(3)试用含的代数式表示MN2,并求当x为何值时,MN2最小?求此时MN2的值.
答案:
解:(1)由题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点,
∴PW是△FMN的中位线,即PW∥MN,
∴===,
∴△FMN∽△QWP;
(2)由(1)得,△FMN∽△QWP,
∴当△QWP为直角三角形时,△FMN为直角三角形,反之亦然.
由题意可得DM=BN=x,AN=6-x,AM=4-x,
由勾股定理分别得FM2=4+x2,MN2=(4-x)2+(6-x)2,
过点N作NK⊥CD于K,
∴CK=BN=x,
∵CF=CD-DF=6-2=4,
∴FK=4-x,
∴FN2=NK2+FK2=(4-x)2+16,
①当MN2=FM2+FN2时,(4-x)2+(6-x)2=4+x2+(4-x)2+16,
解得,
②当FN2=FM2+MN2时,(4-x)2+16=4+x2+(4-x)2+(6-x)2
此方程无实数根,
③FM2=MN2+FN2时,4+x2=(4-x)2+(6-x)2+(4-x)2+16,
解得x1=10(不合题意,舍去),x2=4,
综上,当或x=4时,△PQW为直角三角形.
(3)①当0≤x≤4,即M从D到A运动时,MN≥AN,AN=6-x,
故只有当x=4时,MN的值最小,MN2的值也最小,此时MN=2,MN2=4,
②当4<x≤6时,MN2=AM2+AN2=(x-4)2+(6-x)2,
=2(x-5)2+2,
当x=5时,MN2取得最小值2,
∴当x=5时,MN2的值最小,此时MN2=2.
解析分析:(1)由根据题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点,可得PW是△FMN的中位线,然后即可证明△FMN∽△QWP;
(2)由(1)得,△FMN∽△QWP,当△QWP为直角三角形时,△FMN为直角三角形,根据DM=BN=x,AN=6-x,AM=4-x,利用勾股定理求得FM2=4+x2,MN2=(4-x)2+(6-x)2,FN2=(4-x)2+16,然后分①当MN2=FM2+FN2时,②当FN2=FM2+MN2时,③FM2=MN2+FN2时三种情况讨论即可.
(3)根据①当0≤x≤4,即M从D到A运动时,MN≥AN,AN=6-x,故只有当x=4时,MN的值最小即可求得
如图所示 矩形ABCD中 AB=6 BC=4 点F在DC上 DF=2.动点M N分别从点D B同时出发 沿射线DA 线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线