问题补充:
如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=60°,BC=12cm,DC=16cm,动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动,动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动.P、Q两点分别从A、B同时出发,当其中一点到达C点时,另一点也随之停止.设运动时间为t秒,△PQB的面积为y?cm2.
(1)求AD的长及t的取值范围;
(2)求y关于t的函数关系式;
(3)是否存在这样的t,使得△PQB的面积为.
答案:
解:(1)在梯形ABCD中,AD∥BC、∠B=90°过D作DE⊥BC于E点,如图所示
∴AB∥DE,
∴四边形ABED为矩形,
∵∠C=60°,DC=16cm,
∴DE=sin60°?16=×16=8,
在Rt△DEC中,DE=8cm,DC=16cm
∴EC=8cm,
∴AD=BE=BC-EC=12-8=4cm,
点P从出发到点C共需=10(秒),
点Q从出发到点C共需=12秒,
又∵t≥0,
∴0≤t≤10;
(2)当0≤t≤2时,
y==t=4t,
当2<t≤10时,
点P在DC边上
∴PC=20-2t
过点P作PM⊥BC于M,如图所示
∴PM∥DE
∴=即=,
∴PM=10-t,
又∵BQ=t,
∴y=BQ?PM
=t?(10-t)
=5t-;
(3)当0≤t≤2时,
由4t=得t=;
当2<t≤10时,
由5t-=得t=9或t=1(舍去)
所以当t=或t=9时,△PQB的面积为.
解析分析:(1)过D作DE⊥BC于E点,如图所示,把梯形的问题转化为矩形和直角三角形的问题,结合题目的已知条件,利用勾股定理即可求出CE,然后也可以求出AD的长度,接着就可以求出点P从出发到点C和点Q从出发到点C所需时间,也就求出了t的取值范围;
(2)首先通过计算确定P的位置在点P在DC边上,过点P作PM⊥BC于M,如图所示,由此得到PM∥DE,然后利用平行线分线段成比例可以用t表示PM,再利用三角形的面积公式即可求出函数关系式;
(3)利用函数关系式结合t的取值范围把△PQB的面积为代入函数的解析式,即可求出t的值.
点评:此题比较复杂,考查了梯形的性质、直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理及三角形的面积公式等知识,也以动态的形式考查了分类讨论的思想,函数的知识,具有很强的综合性.
如图 已知直角梯形ABCD中 AD∥BC ∠B=90° ∠C=60° BC=12cm DC=16cm 动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动 动点Q沿B→C