问题补充:
已知:⊙O1与⊙O2相交于点A、B,过点B作CD⊥AB,分别交⊙O1和⊙O2于点C、D.
(1)如图,求证:AC是⊙O1的直径;
(2)若AC=AD,
①如图,连接BO2、O1O2,求证:四边形O1C?BO2是平行四边形;
②若点O1在⊙O2外,延长O2O1交⊙O1于点M,在劣弧上任取一点E(点E与点B不重合),EB的延长线交优弧于点F,如图所示,连接AE、AF,则AE______AB(请在横线上填上“≥、≤、<、>”这四个不等号中的一个)并加以证明.(友情提示:结论要填在答题卡相应的位置上)
答案:
(1)证明:∵CD⊥AB,
∴∠ABC=90°.
∴AC是⊙O1的直径.
(2)①证明:∵CD⊥AB,
∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵AC=AD,
∵CD⊥AB,
∴CB=BD.
∵O1、O2分别是AC、AD的中点,
∴O1O2∥CD且O1O2=CD=CB.
∴四边形O1CBO2是平行四边形.
②解:AE>AB,
当点E在劣弧上(不与点C重合)时,
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC.
∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB.
∴AE=AF.
记AF交BD为G,
∵AB⊥CD,
∴AF>AG>AB.
当点E与点C重合时,AE=AC>AB,
当点E在劣弧上(不与点B重合)时,设AE交CD与H,
AE>AH>AB.
综上,AE>AB.
解析分析:(1)由CD⊥AB易得AC是⊙O1的直径(圆内直角所对的弦是直径);
(2)根据中位线定理求得O1O2∥CD且O1O2=CD=CB,所以四边形O1CBO2是平行四边形;
(3)可分两种情况:当点E在劣弧上(不与点C重合)时,当点E在劣弧上(不与点B重合)时,证得AE>AB.
点评:本题考查了两圆的位置关系,是一个探究性性的题目,一定要分析各种情况,不要落漏.
已知:⊙O1与⊙O2相交于点A B 过点B作CD⊥AB 分别交⊙O1和⊙O2于点C D.(1)如图 求证:AC是⊙O1的直径;(2)若AC=AD ①如图 连接BO2