问题补充:
已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P是边AB的中点,以P为顶点,作∠MPN=∠A,∠MPN的两边分别与边AC交于点M、N.
(1)当△MPN是直角三角形时,求CM的长度;
(2)当∠MPN绕点P转动时,下列式子:(甲)CM?AN,(乙)CN?AM的值是否保持不变?若保持不变,试求出这个不变的值,并证明你的结论;
(3)连接BM,是否存在这样的点M,使得△BMP与△ANP相似?若存在,请求出这时CM的长;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)显然∠MPN≠90°,
若∠PMN=90°,则CM=4,
若∠PNM=90°,则PN=3,CN=4,MN=,
∴CM=;
(2)(甲)CM?AN的值不确定(显然,CM可以为0,从而CM?AN的值为0);
(乙)CN?AM的值保持不变,且CN?AM=25.
证明如下:
连CP,由已知:∠ACB=90°,AB=10,
∵点P是AB中点,
∴CP=AP=5.
∴∠PCA=∠PAC=∠MPN.
∴∠PMA=∠CPN.
∴△CPN∽△AMP.
∴.
∴CN?AM=25.
(3)∵∠MPN=∠A,
∴∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM,
∴∠ANP=∠BPM.
要使△BMP与△ANP相似,
①若∠MBP=∠A,则BM=AM,
又P是AB中点,
∴MP⊥AB,
∴△AMP∽△ABC.
∴AM=,
从而CM=;
②若∠BMP=∠A,
则∠BMP=∠MPN,
∴△BMP∽△BAM.
=,
∴=,
∴BM=.
从而CM=.
解析分析:(1)根据已知条件可以确定显然∠MPN≠90°,若∠PMN=90°,根据已知条件可以求出CM=4;若∠PNM=90°,则根据已知条件得到PN=3,CN=4,MN=,然后就可以求出CM;
(2)甲的CM?AN的值不确定,由于CM可以为0,从而CM?AN的值为0;乙的CN?AM的值保持不变,且CN?AM=25,连CP,根据已知条件可以得到△CPN∽△AMP,然后根据相似三角形的性质即可求出CN?AM=25;
(3)由∠MPN=∠A得到∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM,接着得到∠ANP=∠BPM,要使△BMP与△ANP相似,
①若∠MBP=∠A,则BM=AM,又P是AB中点,可以得到MP⊥AB,从而推出△AMP∽△ABC.然后根据相似三角形的性质即可求解;
②若∠BMP=∠A,则∠BMP=∠MPN,可以得到△BMP∽△BAM,同①可以求出BM,从而求出CM.
点评:此题主要考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用,解题时要求学生熟练掌握相似三角形的判定方法才能很好解决问题.
已知Rt△ABC中 ∠C=90° BC=6 AC=8.点P是边AB的中点 以P为顶点 作∠MPN=∠A ∠MPN的两边分别与边AC交于点M N.(1)当△MPN是直角