问题补充:
如图,AB为⊙O的直径,BE切⊙O于点C,连接AE交⊙O于点C,D是BE的中点.求证:CD是⊙O的切线.
答案:
证明:连接OC、OD,
∵O、D分别为AB、BE的中点,
∴OD∥AE,
∴∠BOD=∠A,∠COD=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠COD=∠BOD,
∵在△COD和△BOD中,
,
∴△COD≌△BOD,
∴∠OCD=∠OBD,
∵BE是⊙O的切线,
∴∠OBD=90°,
∴∠OCD=∠OBD=90°,
即CD是⊙O的切线.
解析分析:连接OC、OD,根据O、D分别为AB、BE的中点,可证得OD∥AE,然后根据平行线的性质得出∠BOD=∠A,∠COD=∠ACO,又根据OA=OC,得出∠A=∠ACO,即可证明∠COD=∠BOD,然后根据SAS证明△COD≌△BOD,即可得出∠OCD=∠OBD=90°,可证明OC为切线.
点评:本题考查了切线的判定以及平行线的性质,难度适中,解答本题的关键是根据平行线的性质证明角的相等,继而证明三角形的全等.