问题补充:
已知:在四边形ABCD中,AB=4cm,点E,F,G,H分别按A→B,B→C,C→D,D→A的方向同时出发,以1cm/秒的速度匀速运动.在运动过程中,设四边形EFGH的面积为S平方厘米,运动时间为t秒(0≤t≤4).
(1)当四边形ABCD为正方形时,如图1所示,求证:四边形EFGH是正方形;
(2)当四边形ABCD为菱形,且∠A=30°时,如图3所示.在运动过程中,四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)
①∵点E,F,G,H在四条边上的运动速度相同
∴AE=BF=CG=DH
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°,AB=DA,
∴EB=HA
∴△AEH≌△BFE(SAS)
∴EH=FE(全等三角形的对应边相等)
同理可得:EH=FE=GF=HG
∴四边形EFGH是菱形.
又∵∠BEF+∠BFE=90°,∠AEH=∠BFE
∴∠BEF+∠AEH=90°
∴∠FEH=90°
∴四边形EFGH为正方形.(有一个角是直角的菱形是正方形)
(2)四边形EFGH的面积存在最小值,理由如下:
由条件,易证△AEH≌△CGF,△EBF≌△GDH.
作HM⊥AE于M,作FN⊥EB,交EB的延长线于N,
设运动t秒后,四边形EFGH的面积S取最小值,则AE=t,AH=4-t,
又在Rt△AMH中,∠HAM=30°,
∴.
同理得.
故,
.
又S正方形ABCD=4×2=8,
∴四边形EFGH的面积.
∴S=(t-2)2+4,
当t=2秒时,四边形EFGH的面积取最小值等于4cm2.
解析分析:(1)根据题意,易得AE=BF=CG=DH,又由四边形ABCD是正方形,可得∠A=∠B=90°,AB=DA,进而可得四边形EFGH是菱形,又由∠BEF+∠BFE=90°,∠AEH=∠BFE可得∠FEH=90°,可证四边形EFGH是正方形;
(2)根据题意,易证△AEH≌△CGF,△EBF≌△GDH,作HM⊥AE于M,作FN⊥EB,交EB的延长线于N,设运动t秒后,四边形EFGH的面积S取最小值,则AE=t,AH=4-t,又在Rt△AMH中,∠HAM=30°,可得HM与AH的关系,四边形EFGH的面积与t的关系,其关系式为二次函数,由二次函数的性质,易得
已知:在四边形ABCD中 AB=4cm 点E F G H分别按A→B B→C C→D D→A的方向同时出发 以1cm/秒的速度匀速运动.在运动过程中 设四边形EFGH