问题补充:
已知直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于点A、点B,O为坐标原点,k<0,∠BAO=30°.以线段AB为边在第三象限内作等边△ABC.
(1)求出k的值;
(2)求出点C的坐标;
(3)若在第三象限内有一点P(m,),且△ABP的面积和△ABC的面积相等,求m的值.
答案:
解:(1)对于直线y=kx-1,令x=0,解得y=-1,
则B(0,-1),即OB=1,
∵∠BAO=30°,
∴在Rt△OAB中,AB=2OB=2,
根据勾股定理得:OA==,
∵k<0,
∴A(-,0),
把A(-,0)代入y=kx-1中得:k=-;??
(2)∵AB=2,∠BAO=30°,△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=2,∠OAC=∠BAO+∠BAC=30°+60°=90°,
∵C在第三象限,OA=,
∴C(-,-2);
(3)∵△ABP的面积和△ABC的面积相等,
∴直线PC∥直线AB,
设直线PC解析式为y=-x+b,
把C(-,-2)代入直线PC得:-2=-×(-)+b,即b=-3,
∴直线PC解析式为y=-x-3,
把点P(m,-)代入直线PC,得-=-m-3,
解得:m=-.
解析分析:(1)对于直线y=kx-1,令x=0求出y=-1,可得出B坐标为(0,-1),进而确定出OB的长,在直角三角形AOB中,由∠BAO=30°,利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到AB=2OB,求出AB的长,利用勾股定理求出OA的长,由k小于0,确定出A的坐标,将A坐标代入直线y=kx-1中,即可求出k的值;
(2)由三角形ABC为等边三角形,得到∠BAC为60°,由∠BAO+∠BAC得到∠OAC为直角,再由AB的长,求出AC的长,即为C纵坐标的绝对值,OA为C横坐标的绝对值,由C为第三象限点,即可确定出C的坐标;
(3)由三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等,且AB为两三角形的公共边,得到AB边上的高相等,进而得到直线PC与直线AB平行,即两直线的斜率相等,由直线AB的斜率设出直线PC的解析式为y=-x+b,将C坐标代入求出b的值,确定出直线PC解析式,将P坐标代入直线PC解析式中,即可求出m的值.
点评:此题考查了一次函数综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,含30度直角三角形的性质,等边三角形的性质,待定系数法确定一次函数解析式,平行线的性质,以及勾股定理,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
已知直线y=kx-1与x轴 y轴分别交于点A 点B O为坐标原点 k<0 ∠BAO=30°.以线段AB为边在第三象限内作等边△ABC.(1)求出k的值;(2)求出点C