如图 等腰Rt△ABC的直角边AB=2 点P Q分别从A C两点同时出发 以相同速度作直线运

问题补充：

如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．

（1）设AP的长为x，△PCQ的面积为S．求出S关于x的函数关系式；

（2）当AP的长为何值时，S△PCQ=S△ABC；

（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

答案：

解：（1）①当点P在线段AB上时（如图1），S△PCQ=CQ?PB．

∵AP=CQ=x，PB=2-x．

∴S△PCQ=x（2-x）．

即S=（2x-x2）（0＜x＜2）；

②当点P在AB延长线上时（如图2），S△PCQ=CQ?PB．

∵AP=CQ=x，PB=x-2．

∴S△PCQ=x（x-2）．

即S=（x2-2x）（x＞2）；

（2）S△ABC=×2×2=2．

①令（2x-x2）=2，即x2-2x+4=0，此方程无解；

②令（x2-2x）=2，即x2-2x-4=0，解得x=1±．

故当AP的长为1+时，S△PCQ=S△ABC．

（3）作PF∥BC交AC交延长线于F，则AP=PF=CQ．

∴△PFD≌△QCD．

∴FD=CD=．

∵AP=x，

∴AE=EF=．

∵AB=2，

∴AC=2．

①当点P在线段AB上时，

∵CF=AC-AF=2-x，FD==-x．

∴DE=EF+DF=-x+=；

②当点P在AB延长线上时，

∵CF=AF-AC=x-2．FD==x-．

∴DE=EF-FD=AF-AE-DF=x-x-（x-）=．

故当P、Q运动时，线段DE的长度保持不变，始终等于．

解析分析：（1）本题要分两种情况进行讨论：

①当P在线段AB上；②当P在AB延长线上．

△PCQ都是以CQ为底，PB为高，可据此得出S、x的函数关系式．

（2）先计算出△ABC的面积，然后将其值代入（1）中得出的两个函数式中，即可得出所求的AP的长．

（3）本题要分两种情况进行计算：

①当P在线段AB上时，过P作PF∥QB交AC于F，那么不难得出△PFD≌△QCD，因此DF=CD=，而CF=AC-2AE，因此根据DE=EF+DF即可得出DE的长．

②当P在线段AB延长线上时，DE=EF-FD．

然后比较①②的DE的长是否相等即可判断出线段DE的长度是否改变．

点评：本题结合三角形的相关知识考查了二次函数的应用，主要考查了学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．

如图 等腰Rt△ABC的直角边AB=2 点P Q分别从A C两点同时出发 以相同速度作直线运动．已知点P沿射线AB运动 点Q沿边BC的延长线运动 PQ与直线AC相交于