问题补充:
已知函数f(x)=2x+1(x∈R).
(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)-2h(x),求p(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m2-2m对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围.
答案:
解:(1)假设f(x)=g(x)+h(x)①,其中g(x)偶函数,h(x)为奇函数,
则有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x)②,
由①②解得g(x)=[f(x)+f(-x)],h(x)=[f(x)-f(-x)],
∵f(x)定义在R上,∴g(x),h(x)都定义在R上.
∵g(-x)=[f(-x)+f(x)]=g(x),h(-x)=12[f(-x)-f(x)]=-h(x).
∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,
∵f(x)=2x+1,
∴g(x)=[f(x)+f(-x)]=(2x+1+2-x+1)=2x+2-x,
h(x)=[f(x)-f(-x)]=(2x+1-2-x+1)=2x-2-x.
由2x-2-x=t,则t∈R,
平方得t2=(2x-2-x)2=22x-2-2x-2,
∴g(2x)=22x+2-2x=t2+2,
∴p(t)=t2-2t+2.
(2)∵t=h(x)关于x∈[1,2]单调递增,
∴≤t≤.
∴p(t)=t2-2t+2≥m2-2m对于t∈[]恒成立,
∴m2-2m≤(t-1)2+1对于t∈[]成立,
令φ(t)=(t-1)2+1,则∵t∈[],故φ(t)单调递增,
φ(t)min=φ=
∴m2-2m≤
解得-≤m≤
解析分析:(1)利用f(x)=g(x)+h(x)和f(-x)=g(-x)+h(-x)求出g(x)和h(x)的表达式,再求出p(t)关于t的表达式即可.
(2)先有x∈[1,2]找出t的范围,在把所求问题转化为求p(t)在[,]的最小值.让大于等于m2-2m即可.
点评:本题是在考查指数函数的基础上对函数的恒成立问题,函数奇偶性以及一元二次方程根的判断的综合考查,是一道综合性很强的难题.
已知函数f(x)=2x+1(x∈R).(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和 设h(x)=t p(t)=g(2x)-2h(x) 求p(t