问题补充:
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点(A、B分别在原点左、右两侧),与y轴正半轴交于点C,OB=OC=4OA,△ABC的面积为40.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若以抛物线上一点P为圆心的圆恰与直线BC相切于点C,求点P的坐标.
答案:
解:(1)由题意设A(-k,0),则点B、C的坐标为(4k,0)、(0,4k)、k>0,
∴AB=5k,由S△ABC=×5k×4k=40,得k=2
∴A(-2,0)、B(8,0)、C(0,8)
(2)设抛物线y=a(x+2)(x-8),把(0,8)代入,
得a=
∴y=-(x+2)(x-8)
即y=-x2+3x+8
(3)易得直线BC为y=-x+8
由⊙P切BC于C,知PC⊥BC,延长PC交x轴于点Q,则OQ=OC=OB=8,
故得Q(-8,0),进而,直线PQ的解析式为y=x+8
解方程组
由于点(0,8)即为点C,不合题意,舍去.
所以,满足条件的点P的坐标为(4,12).
解析分析:(1)求A、B、C三点的坐标,可以根据△ABC的面积为40,设A(-k,0),则点B、C的坐标为(4k,0)、(0,4k)、k>0,得到关于k的方程,从而得出;
(2)代入法求出抛物线的解析式;
(3)代入法先求出直线BC的解析式,由切线的性质知PC⊥BC,延长PC交x轴于点Q,求出Q点的坐标,进而得到直线PQ的解析式,结合抛物线的解析式求得满足条件的点P的坐标为(4,12).
点评:本题结合三角形的面积考查二次函数的综合应用,着重考查了代入法求函数解析式,以及解方程求交点坐标.
如图 抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A B两点(A B分别在原点左 右两侧) 与y轴正半轴交于点C OB=OC=4OA △ABC的面积为40.(1)求A B