问题补充:
如图,△ABC中,点E是AB,BC的垂直平分线的交点,AE的延长线交BC于点D,AB=AD,AE=BD.
①求证:AB=BC;
②求∠DAC的度数.
答案:
解:(1)连接CE
∵点E是AB,BC的垂直平分线的交点,
∴AE=BE=CE,
∴∠EAB=∠EBA,∠EBD=∠ECB,∠EAC=∠ECA
∵AE=BD,
∴BE=BD,
∴∠BED=∠BDE
又∵AB=AD,
∴∠ABD=∠BDE,
∴∠BED=∠ABD
∵∠BED=∠EAB+∠ABE,∠ABD=∠ABE+∠DBE,
∴∠EAB=∠EBD
又∵∠EAB=∠EBA,∠EBD=∠ECB,
∴∠EAB=∠ECB,
∴∠EAC+∠EAB=∠ECB+∠ECA,即∠BAC=∠BCA,
∴AB=BC;
(2)设∠BAD=x,
∵AE=BE,
∴∠AEE=x,
∵∠BED是△ABE的外角,
∴∠BED=2x,
∵BE=BD,
∴∠ADB=∠BED=2x,
∵AB=AD,
∴∠ABD=2x,
∴∠BAD+∠ABD+∠ADB=x+2x+2x=180°,解得x=36°,
∴∠ABD=72°,
∵AB=BC,
∴∠BAC===54°,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=54°-36°=18°.
解析分析:(1)连接CE,由线段垂直平分线的性质可得出AE=BE=CE,由等边对等角可知∠EAB=∠EBA,∠EBD=∠ECB,∠EAC=∠ECA,再根据AE=BD,可知BE=BD,由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠BAC=∠BCA,进而得出结论;
(2)设∠BAD=x,由AE=BE可知∠AEE=x,根据∠BED是△ABE的外角,可知∠BED=2x,由三角形内角和定理可求出x的度数,再根据等腰三角形的性质即可得出结论.
点评:本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质,在解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件.
如图 △ABC中 点E是AB BC的垂直平分线的交点 AE的延长线交BC于点D AB=AD AE=BD.①求证:AB=BC;②求∠DAC的度数.