问题补充:
如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l:y=-x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B,过点C(-4,-4)画平行于y轴的直线交直线AB于点D,CD=10.
(1)求点D的坐标和直线l的解析式;
(2)求证:△ABC是等腰直角三角形;
(3)如图2,将直线l沿y轴负方向平移,当平移适当的距离时,直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′,在直线CD上存在点P,使得△A′B′P是等腰直角三角形.请直接写出所有符合条件的点P的坐标.(不必书写解题过程)
答案:
解:(1)∵CD=10,点C的坐标为(-4,-4),
∴点D的坐标为(-4,6)
把点D(-4,6)代入得,m=4.
∴直线l的解析式是;
(2)
∵,
∴A(8,0),B(0,4),
过点C画CH⊥y轴于H,则CH=OH=4,BH=8.
在△AOB和△BHC中,
∵AO=BH,∠AOB=∠BHC,BO=CH,
∴△AOB≌△BHC
∴AB=BC,∠HBC=∠OAB,
∴∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形;
(3).
解析分析:(1)由点C的坐标和CD的长,求出点D的坐标,再把点D的坐标代入求得m的值,即可求得直线l的解析式;
(2)由直线l的解析式可求得点A、B的坐标,过点C画CH⊥y轴于H,则CH=OH=4,BH=8.求证△AOB≌△BHC即可求得AB=BC,∠HBC=∠OAB,进而求得∠ABC=90°;
(3)此题应分作三种情况考虑,可先设出平移后直线l的解析式(由于是平移,故斜率不变),然后表示出A、B的坐标,进而可得到它们的中点坐标;
①以P为直角顶点,那么此时P点为AB的中垂线与直线CD的交点,可根据A’B中点(M)的坐标及直线AB的斜率求出此中垂线的解析式,进而得到P点坐标的表达式,若△A′B′P是等腰直角三角形,则PM=AB,可据此列出关系式求出P点的坐标;
②以B为直角顶点,那么点P为过B点且与直线AB垂直的直线的解析式,可根据点P的坐标求出这条直线的解析式,然后表示出点P的坐标,进而根据△A′B′P是等腰直角三角形得到AP=AB,以此列方程求得P点坐标;
③以A为直角顶点,方法同②.
点评:本题考查综合应用点的坐标,等腰直角三角形的判定等知识进行推理论证、运算及探究证明的能力.
如图1 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 直线l:y=-x+m与x y轴的正半轴分别相交于点A B 过点C(-4 -4)画平行于y轴的直线交直线AB于点D CD=10