问题补充:
一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N,与反比例函数y=的图象相交于点A,B.过点A分别作AC⊥x轴,AE⊥y轴,垂足分别为C,E;过点B分别作BF⊥x轴,BD⊥y轴,垂足分别为F,D,AC与BD交于点K,连接CD.
(1)若点A,B在反比例函数y=的图象的同一分支上,如图1,试证明:
①S四边形AEDK=S四边形CFBK;②AN=BM.
(2)若点A,B分别在反比例函数y=的图象的不同分支上,如图2,则AN与BM还相等吗?试证明你的结论.
答案:
(1)证明:①∵AC⊥x轴,AE⊥y轴,
∴四边形AEOC为矩形.
∵BF⊥x轴,BD⊥y轴,
∴四边形BDOF为矩形.
∵AC⊥x轴,BD⊥y轴,
∴四边形AEDK,DOCK,CFBK均为矩形.
∵OC=x1,AC=y1,x1?y1=k,
∴S矩形AEOC=OC?AC=x1?y1=k
∵OF=x2,FB=y2,x2?y2=k,
∴S矩形BDOF=OF?FB=x2?y2=k.
∴S矩形AEOC=S矩形BDOF.
∵S矩形AEDK=S矩形AEOC-S矩形DOCK,S矩形CFBK=S矩形BDOF-S矩形DOCK,
∴S矩形AEDK=S矩形CFBK.
②由(1)知:S矩形AEDK=S矩形CFBK.
∴AK?DK=BK?CK.
∴.
∵∠AKB=∠CKD=90°,
∴△AKB∽△CKD.
∴∠CDK=∠ABK.
∴AB∥CD.
∵AC∥y轴,
∴四边形ACDN是平行四边形.
∴AN=CD.
同理BM=CD.
∴AN=BM.
(2)解:AN与BM仍然相等.
∵S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC,S矩形BKCF=S矩形BDOF+S矩形ODKC,
又∵S矩形AEOC=S矩形BDOF=k,
∴S矩形AEDK=S矩形BKCF.
∴AK?DK=BK?CK.
∴.
∵∠K=∠K,
∴△CDK∽△ABK.
∴∠CDK=∠ABK.
∴AB∥CD.
∵AC∥y轴,
∴四边形ANDC是平行四边形.
∴AN=CD.
同理BM=CD.
∴AN=BM.
解析分析:点A,B在反比例函数y=的图象上,所以矩形AEOC、矩形BDOF面积相等,由图看出矩形OCKD是它们的公共部分,由此可知S四边形AEDK=S四边形CFBK,根据面积为长×宽,易得AK?DK=BK?CK可知AB∥CD,从而四边形ACDN、BDCM为平行四边形,所以AN=CD=BM.
点评:此题综合考查了反比例函数的性质,平行四边形等多个知识点.此题难度稍大,综合性比较强,注意对各个知识点的灵活应用.
一次函数y=ax+b的图象分别与x轴 y轴交于点M N 与反比例函数y=的图象相交于点A B.过点A分别作AC⊥x轴 AE⊥y轴 垂足分别为C E;过点B分别作BF⊥