问题补充:
已知二次函数y=x2-2mx+m2-4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),且与y轴交于点D.
(1)当点D在y轴正半轴时,是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;
(2)当m=-1时,将函数y=x2-2mx+m2-4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象Ω.当直线与图象Ω有两个公共点时,求实数b的取值范围.
答案:
解:令y=0得x2-2mx+m2-4=0,解得x1=m-2,x2=m+2,
∴A(m-2,0),B(m+2,0),D(0,m2-4),
(1)∵点D在y轴正半轴,
∴m2-4>0,设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形,则BO=OD,
即|m+2|=m2-4,
①当m+2>0时,m2-4=m+2,解得x=3或x=-2(舍去);
②当m+2<0时,m2-4+m+2=0,解得x=1或x=-2(都舍去);
③当m+2=0时,点O、B、D重合,不合题意,舍去;
综上所述,m=3.
(2)当m=-1时,y=x2+2x-3,则A(-3,0),B(1,0)顶点为(-1,-4)
因为直线与图象Ω有两个公共点,
则当直线过A点时,
当直线过B(1,0)时,,
当直线与y=-x2-2x+3只有一个公共点时,,
根据图象,可得.
解析分析:(1)令y=0求得方程的两个解,即得出A、B、D的坐标;再根据点D在y轴正半轴,分情况讨论,从而得出m的值;
(2)由已知条件,得出A、B的坐标,即得出抛物线的顶点,由直线与图象的交点个数求出b的不同值,再得出b的取值范围即可.
点评:本题是一道难度较大的二次函数题,综合考查了等腰三角形的性质,需注意分类讨论各种情况.综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.(2)中弄清直线与图象的交点个数是解题的关键.
已知二次函数y=x2-2mx+m2-4的图象与x轴交于A B两点(点A在点B的左边) 且与y轴交于点D.(1)当点D在y轴正半轴时 是否存在实数m 使得△BOD为等腰