问题补充:
如图所示,梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD,∠ADC=60°,点A、D在x轴上,点A在点D的左侧,点C在y轴的正半轴上,点D的坐标为(2,0).动点P从点C出发,以每秒1个单位长度的速度,在折线段C-B-A上匀速运动到点A停止,设运动时间为t秒.
(1)求出点B、C的坐标;
(2)当t=4时,求直线DP的函数解析式及△DCP的面积;
(3)t为何值时,直线DP恰好将梯形ABCD分成面积比为1:2的两部分?
答案:
解:(1)∵点D的坐标为(2,0),即OD=2,∠ADC=60°,∠COD=90°,
∴OC=OD?tan60°=2,∠OCD=30°,
∴DC=2OD=4,
∴点C的坐标为(0,2),
∵AB=BC=CD,
∴BC=4,AB=4,
过点B作BF⊥AD于点F,
∵BC∥AD,
∴BF=CO=2,
∴点B的坐标为(-4,2);
(2)当t=4时,CP=4,此时点P恰好与点B重合,记点P为P1,
设直线DP1的函数表达式为y=kx+b,
将B和D的坐标代入y=kx+b得:,
解得:,
∴直线DP1的函数表达式为y=-x+,S△DCP1=?BC?OC=×4×2=4;
(3)由(1)知:AF=AB?cos60°=4×=2,OF=BC=4,
∴AD=AF+OF+OD=8,
∴S梯形ABCD=×(4+8)×2=12,
(i)当点P在BC上时,由(2)知,当t=4时,S△DCP1=4=S梯形ABCD,
∴当t=4时,直线DP1将梯形ABCD分成面积比为1:2的两部分;
(ii)当点P在AB上时,记点P为P2,过点P2作P2G⊥AD于点G,
若S△DCP2=S梯形ABCD=×12=4,
则×AD×P2G=4,又AD=8,
∴P2G=,
∴P2A===2,
∴CB+BP2=AB+BC-P2A=4+4-2=6,
此时t=6,
综上,当t=4或t=6时,直线DP恰好将梯形ABCD分成面积比为1:2的两部分.
解析分析:(1)由D的坐标得出OD的长,在直角三角形OCD中,由∠ADC=60°,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OC的长,得出C的坐标,且求出∠OCD=30°,利用直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长,再由BC=CD=AB,得出CD与AB的长,过B作BF垂直于x轴,在直角三角形ABF中,由AB及∠BAD=60°,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出BF的长,由BC及BF即可得到B的坐标;
(2)当t=4时,根据每秒1个单位,求出CP=4,而BC=4,此时P与B重合,故设此时直线PD的解析式为y=kx+b,将B和D的坐标代入,得到关于k与b的方程组,求出方程组的解得到k与b的值,确定出直线PD的解析式,三角形DCP以BC为底边,BC边上的高与OC相等,利用三角形的面积公式即可求出三角形DCP的面积;
(3)由BF=OC,OF=BC,利用AD=AF+OF+OD求出AD,然后由上底BC,下底AD及高OC,求出梯形ABCD的面积,分两种情况考虑:(i)P在BC边上时,由(2)求出的三角形DCP面积恰好等于梯形面积的,得到此时P与B重合,把P记作P1,可得出t=4时,直线DP1恰好将梯形ABCD分成面积比为1:2的两部分;(ii)当P在AB边上时,P记作P2,过P2作P2G垂直于x轴,三角形AP2D的面积以AD为底边,高为P2G,根据三角形AP2D的面积为梯形面积的,列出关系式,求出P2G的长,在直角三角形AP2G中,由∠BAD=60°,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出AP2的长,再由AB+BC-AP求出P2运动的路程,即可求出此时的时间t,综上,得到所有满足题意的时间t的值.
点评:此题考查了坐标与图形性质,锐角三角函数定义,含30°直角三角形的性质,等腰梯形的性质,以及利用待定系数法求一次函数解析式,利用了数形结合及分类讨论的思想,是一道综合性较强的试题.
如图所示 梯形ABCD中 BC∥AD AB=BC=CD ∠ADC=60° 点A D在x轴上 点A在点D的左侧 点C在y轴的正半轴上 点D的坐标为(2 0).动点P从点