问题补充:
如图,已知⊙O1和⊙O2外切于点P,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AP的延长线交⊙O1于C点,BP的延长线交⊙O2于D点,直线O1O2交⊙O1于M,交⊙O2于N,与BA的延长线交于点E.
求证:(1)AB2=BC?DA.
(2)线段BC,AD分别是两圆的直径.
(3)PE2=BE?AE.
答案:
证明:(1)∵BA切⊙O1于B,∴∠ABP=∠C,∵BA切⊙O2于A,∴∠BAP=∠D,∴△ABC∽△DAB,∴,∴AB2=BC?DA;
(2)过P作两圆的内公切线交AB于F,由切线长定理得:BF=PF,PF=AF,∴PF=BF=AF=AB
∴∠BPA=90°,∴BP⊥AP,∴∠BPC=∠APD=90°,∴BC,AD分别是⊙O1,⊙O2的直径.
(3)∵PF是⊙O1和⊙O2的公切线,∴PF⊥O1O2,∴∠APF=∠APE=90°,∵∠APB=90°,
∴∠ABP+∠BAP=90°,又∵PF=AF,∴∠BAP=∠APF,∴∠ABP=∠APE,∵∠E=∠E
∴△EPB∽△EAP,∴,∴PE2=BE?AE.
解析分析:(1)此题的关键是利用∠ABP=∠C,∠BAP=∠D,判定△ABC∽△DAB,然后即可推出AB2=BC?DA.(2)由切线长定理得BF=PF,PF=AF,PF=BF=AF=AB,从而推出BC,AD分别是⊙O1,⊙O2的直径.(3)利用PF⊥O1O2,∠APF=∠APE=90°,PF=AF,∠BAP=∠APF得出△EPB∽△EAP,从而得出
如图 已知⊙O1和⊙O2外切于点P AB是两圆的外公切线 A B为切点 AP的延长线交⊙O1于C点 BP的延长线交⊙O2于D点 直线O1O2交⊙O1于M 交⊙O2于N