问题补充:
直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图所示,O与坐标原点重合,点A在x轴上,点B在y轴上,OB=2,∠BAO=30°,将△AOB沿直线BE折叠,使得OB边落在AB上,点O与点D重合.
(1)求直线BE的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)点P是x轴上的动点,使△PAB是等腰三角形,直接写出P点的坐标;
(4)点M是直线BE上的动点,过M点作AB的平行线交y轴于点N,是否存在这样的点M,使得以点M、N、D、B为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请求出所有M点的坐标;如果不存在说明理由.
答案:
解:(1)∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°,
∵沿BE折叠O.D重合
∴∠EBO=30°,
OE=BE,
设OE=x,
则(2x)2=x2+,
∴x=2,
即 BE=4,
E(-2,0),
设Y=kx+b代入得;
解得,
∴直线BE的解析式是:,
(2)过D作DG⊥OA于G,
∵沿BE折叠O、D重合,
∴DE=2,
∵∠DAE=30°
∴∠DEA=60°,∠ADE=∠BOE=90°,
∴∠EDG=30°,
∴GE=1,DG=,
∴OG=1+2=3,
∴D的坐标是:D;
(3)P1(-2,0);P2(6,0);;;
(4)存在,
过D作DM1⊥y轴交BE于M,过M1作AB平行线交y轴于N1,
则M1的横坐标是x=-3,代入直线BE的解析式得:
y=-,
∴M1(-3,-),
②过D作DN2∥BE交y轴于N2,过N2作N2M2∥AB交直线EB于M2,
∵D的横坐标是-3,
∴M2的横坐标是3,
∵M1的坐标是(-3,-),D(-3,),
∴DM1=+=2=NB,
∵BO=2,
∴M2的纵坐标是2+2+=5,
∴M2(3,5),
∴M点的坐标是:(-3,-)和(3,5).
解析分析:先利用直角三角形的性质(直角三角形中,如果有一个角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.)和勾股定理求出点的坐标E(-2,0),进一步用待定系数法求出一次函数的解析式y=x+2.
点评:解此题的关键是用两点坐标用待定系数法求出解析式,再利用平行线间的距离处处相等求出点的横坐标.利用直角三角形的性质和勾股定理用方程求出点的纵坐标,注意一题多解.
直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图所示 O与坐标原点重合 点A在x轴上 点B在y轴上 OB=2 ∠BAO=30° 将△AOB沿直线BE折叠 使得OB边落在AB上