问题补充:
已知:抛物线y=ax2+bx+c过点A(一1,4),其顶点的横坐标为,与x轴分别交于B(x1,0)、C(x2,0)两点(其中且x1<x2),且x12+x22=13.
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标;
(2)设此抛物线与y轴交于D点,点P是抛物线上的点,若△PBO的面积为△DOC面积的倍,求点P的坐标.
答案:
解:(1)由题意得
??
将①②代入②得????? a=-1,则b=1,c=6
∴该抛物线的解析式为y=-x2+x+6=
∴顶点E的坐标为
(2)抛物线与y轴交点D的横坐标为x=0,则y=6,即D(0,6)
∵-x2+x+6=0?-(x-3)(x+2)=0,即x=-2或3
∴B(-2,0)、C(3,0)
设P的坐标为(m、n)
又∵,即
∴n=6或-6
当n=6时,则6=-m2+m+6,解得m=0或1;
当n=-6时,则-6=-m2+m+6,解得m=-3或4.
∴点P的坐标为(0,6)、(-1,6)、(-3,-6)、(4,-6)
答:(1)该抛物线的解析式为y=-x2+x+6,顶点E的纵坐标为;
(2)点P的坐标为(0,6)、(-1,6)、(-3,-6)、(4,-6).
解析分析:(1)首先认真阅读题目要求,画出如下图所示,根据抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,4)列出关系式4=a-b+c;根据抛物线y=ax2+bx+c顶点的横坐标为列出关系式;与x轴分别交于B(x1,0)、C(x2,0)两点(其中且x1<x2),且x12+x22=13,那么可得到方程ax2+bx+c=0,因此x1+x2=,x1?x2=,则利用完全平方式可得.联立三式组成方程组,可解得a、b、c的值,则抛物线的解析式即可确定.再将解析式写出顶点式,则顶点坐标E也就确定.(2)设P的坐标为(m、n).首先结合图形,求得B、C、D点的坐标.再用n表示出△PBO的面积,并求得△DOC面积的面积,根据两个三角形的面积比,求得n的取值,则m的取值,也就可求出.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
已知:抛物线y=ax2+bx+c过点A(一1 4) 其顶点的横坐标为 与x轴分别交于B(x1 0) C(x2 0)两点(其中且x1<x2) 且x12+x22=13.(