问题补充:
如图,四边形ABCD是边长为8的正方形,现有两个动点P、Q分别从A、C两点同时出发,其中点P以每秒2个单位的速度沿A?B方向运动,点Q以每秒1个单位的速度沿C?D方向运动,当一点到达终点时,另一点停止运动.过点P作PE⊥CD于E,交DB于点F,连接AF、QF,设运动时间为t秒.
(1)记△DFQ的面积为S,求出S关于t的函数关系式和自变量t的取值范围;
(2)当△ADF与△BDC相似时,求tan∠QFE的值;
(3)是否存在t,使得△DFQ为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵ABCD是正方形,
∴∠ADB=∠BDC=∠ABD=45°
又∵PE⊥CD,
∴△EDF和△BPF都为等腰直角三角形
∴EF=DE=AP=2t,DF=t
又∵DQ=8-t
∴s=DQ?EF=(8-t)?2t=-t2+8t
自变量t的取值范围是0≤t≤4.
(2)当△ADF与△BDC相似时,
∵∠ADF=∠BDC=45°,
∴或
由,
得,t=2
这时EF=4,QE=8-3t=2
∴tan∠QFE==
由,
得=,t=4.
这时,点F与B重合,点E与C重合
∴tan∠QFE=tan∠QBC=.
(3)①当FQ=FD时,QE=ED,即8-3t=2t,5t=8,t=1.6;
②当DQ=DF时,即8-t=2t,t==;
③当QF=QD时,QE2+EF2=QD2,即(8-3t)2+(2t)2=(8-t)2,t=.
综上所述,存在t的值,分别为t=1.6或t=或时,△DFQ为等腰三角形.
解析分析:(1)三角形DFQ中,底边DQ的长可用CD、CQ得出,QD边上的高即EF的长,可在直角三角形DEF中,根据DE的长(即AP的长)和∠CDB的正弦值求出.进而可根据三角形的面积计算公式求出S,t的函数关系式.由于P、Q两点中当一点到达终点时,另一点停止运动,因此可根据P点的速度和AB的长来求出t的取值范围.
(2)由于∠CDB=∠ADF,因此本题分两种情况:①∠AFD=∠BCD,即△ADF∽△ABC,可根据对应线段成比例求出AP的长,即可得出EF,QE的长,据此可求出∠QFE的正切值.②∠DAF=∠DCB,即△DAF∽△BCD,解法同①
(3)分三种情况:
①FQ=FD,根据等腰三角形三线合一的特点可知此时QE=ED,可据此求出t的值.
②DQ=DF,DQ的长可用CD-CQ表示出,DF的长,可在直角三角形DEF中,用DE和∠CDB的余弦值求出.然后联立这两个含t的表达式相等即可得出t的值.
③QF=QD,可直接在直角三角形QEF中用勾股定理求出t的值.
点评:该题综合性较强,它将二次函数和正方形、解直角三角形、相似三角形的判定、等腰三角形的构成情况等贯穿在一起,考查综合分析问题能力,要注意(2)(3)两小题都要分类讨论,不要漏解.
如图 四边形ABCD是边长为8的正方形 现有两个动点P Q分别从A C两点同时出发 其中点P以每秒2个单位的速度沿A?B方向运动 点Q以每秒1个单位的速度沿C?D方向