问题补充:
如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.
(1)求证:AD⊥CD;
(2)以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,若AD=2,AC=,求点B的坐标.
答案:
(1)证明:连接OC.
∵直线CD与⊙O相切于点C,
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°,
∵AO=CO,
∴∠OAC=∠ACO,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠OAC,
∴∠DAC=∠ACO,
∴∠DCA+∠DAC=90°,
∴∠ADC=90°,
即AD⊥CD;
(2)解:连接BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACB,
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ADC∽△ACB,
∴,
∵AD=2,AC=,
∴AB=,
∴OB=,
∴B点坐标是(,0).
解析分析:(1)连接OC,由于CD是切线,那么∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°,而OA=OC,于是∠OAC=∠ACO,再结合AC是∠DAB平分线,易知∠DAC=∠OAC,从而有∠DAC=∠ACO,于是∠DCA+∠DAC=90°,即可证AD⊥CD;
(2)连接BC,由(1)知∠DAC=∠BAC,而∠ADC=∠ACB=90°,易证△ADC∽△ACB,利用比例线段,易求AB,进而可求OB,即可求出点B的坐标.
点评:本题考查了切线的性质、等边对等角、角平分线定义、相似三角形的判定和性质.解题的关键是连接OC、BC,构造等腰三角形、直角三角形,并证明∠DAC=∠ACO.
如图 已知AB是⊙O的直径 直线CD与⊙O相切于点C AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥CD;(2)以AB所在直线为x轴 线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标