问题补充:
已知:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2x+3(a≠0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且对称轴为直线x=-1(如图1).
(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)P是y轴上一点,若△PBC与△BOC相似,求点P的坐标;
(3)连接AD、BD(如图2),点M是AD上的一个动点,过点M作MN∥AB交BD于点N,把△DMN沿MN折叠得△D′MN,设△D′MN与△ABD的重叠部分的面积为S,请探究:S的最大值.
答案:
解:(1)由题意可得:
∴a=-1,
则y=-x2-2x+3
∴y=-(x+1)2+4,
∴顶点D的坐标是(-1,4);
(2)∵P是y轴上一点,
∴设点P的坐标为(0,y)
又∵∠COB=90°,∠PCB≠90°
∴⒈当∠CPB=90°=∠COB???则点P的坐标为(0,0)此时△CPB∽△COB,
⒉当∠CBP=90°=∠COB时,则△CBP∽△COB,
∴∠OCB=∠PBO,
∴△COB∽△BOP,
∴--------------(7分)
又∵y=-x2-2x+3,
∴点C坐标是(0,3)、点B的坐标是(1,0)
∴,
∴
∴点P的坐标是-------------(9分)
(3)设DM=x,作DE⊥AB,垂足为E,交MN于点F,
∵点D(-1,4)
∴
①当时(图1),
由折叠可知,
∵MN∥AB,
∴△DMN∽△DAB
∴
即,
∴
∴------------------(10分)
∴当时,Smax=2;--------------------(11分)
②当时,如图2,则S=S梯形MNGK
由折叠可知:∠DMN=∠D′MN,
又∵MN∥AB
∴∠DMN=∠DAB∠NMK=∠MKA
∴∠MAK=∠MKA
∴MK=MA=
∴
由△D′KG∽△D′MN得,
∴
又∵
∴
∴=------------(12分)
∴
又∵
∴当时?,------------------------------------(13分)
综合上面分析可知:.------------------------------(14分)
解析分析:(1)根据其对称轴为x=-1,求得a的值,代入函数关系式即可求得其顶点坐标;(2)设出p点的坐标,利用两三角形相似得到有关的方程,解得后即可求得p点的坐标;(3)设DM=x,作DE⊥AB,垂足为E,交MN于点F,求得线段DA的长,分当时和当时两种情况求得重叠部分的最大面积即可.
点评:本题主要考查了二次函数的性质,三角形相似的性质,梯形的面积公式,用待定系数法求二次函数的解析式等知识点,能综合运用这些知识解题是解决本题的关键.难点是(3)小题的求法,巧妙地运用了分类讨论思想.
已知:在平面直角坐标系中 抛物线y=ax2-2x+3(a≠0)交x轴于A B两点 交y轴于点C 且对称轴为直线x=-1(如图1).(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐