问题补充:
已知:抛物线y=ax2+bx+4的对称轴为x=-1,且与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中点A的坐标为(-3,0),
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线的顶点为D,求△ACD的面积;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以A、B、C、P为顶点的四边形是梯形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)由题意得
,
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+4.
(2)∵D是抛物线y=-x2-+4的顶点
∴点D的坐标为(-1,)
设AC与抛物线对称轴的交点为E
∴DE=-=
∴S△ACD=S△CDE+S△ADE=××2+××1=4.
(3)设抛物线的对称轴与x轴的交点为H
若PC∥AB,则点P(-1,4);
若PB∥AC,△PHB∽△COA,
∴,即,
解得PH=.
∴P(-1,-);
若PA∥BC,则△PHA∽△COB,
∴,
即,
解得PH=8
∴P(-1,-8).
因此符合条件的P点有三个:(-1,4);(-1,-);(-1,-8).
解析分析:(1)将A点坐标代入抛物线中,联立对称轴的解析式即可求出待定系数的值.
(2)由于△ADC的面积无法直接求出,因此可将其面积转换为其他面积的和差来求.设直线AC与抛物线对称轴的交点为E,首先要求出A、C、D、E四点的坐标,然后将△ACD分成△AED和△CDE两部分来求解.
(3)本题分三种情况:
①PC∥AB,那么C点的纵坐标即为P点的纵坐标,因此可直接写出P点坐标
②PB∥AC,那么此时应有△PHB∽△COA(设抛物线对称轴与x轴的交点为H),可通过得出的关于PH、CO,BH、AO的比例关系式来求出PH的长,即可得出P点坐标.
③PA∥BC,同②.
点评:本题是二次函数综合题,考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、梯形的判定等知识.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
已知:抛物线y=ax2+bx+4的对称轴为x=-1 且与x轴相交于点A B 与y轴相交于点C 其中点A的坐标为(-3 0) (1)求该抛物线的解析式;(2)若该抛物线