问题补充:
已知AB是⊙O的直径,弦AC平分∠BAD,AD⊥CD于D,BE⊥CD于E.
求证:(1)CD是⊙O的切线;
(2)CD2=AD?BE.
答案:
证明:(1)连接OC???????????????…(1分)
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠OAC
∴∠OCA=∠DAC?????????…(2分)
∴AD∥OC
∵AD⊥CD
∴OC⊥CD???????????????????????????????????????…(3分)
∴CD是⊙的切线?????????????????????????????????…(4分)
(2)连接BC,延长AC交BE的延长线于M??????????????…(5分)
∵AD⊥DE?????BE⊥DE
∴AD∥BE
∴∠M=∠DAC
∵∠DAC=∠BAM
∴∠BAM=∠M
∴BA=BM???????????????????????????????????????????…(6分)
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴AC=MC
又∵∠M=∠DAC+∠D=∠CEM???AC=MC
∴△DAC≌△MCE
∴DC=EC?????????????????????????????????????????…(7分)
(若用平行线分线段成比例定理证明,正确得分)
∴∠DAC=∠BCE,∠ADC=∠CEB
∴△ADC∽△CEB???????????????????????????????????…(8分)
∴
∴CE?CD=AD?BE
∴CD2=AD?BE…(9分)
说明:本题还有其它证法,若正确合理得分.
解析分析:(1)连接OC.欲证CD是⊙O的切线,只需证明OC⊥CD即可;(2)作辅助线(连接BC,延长AC交BE的延长线于M?)构建全等三角形△DAC≌△MCE,根据全等三角形的对应边相等知DC=EC;然后由相似三角形的判定定理AA判定△ADC∽△CEB,再由相似三角形的对应边成比例求得,即CD2=AD?BE.
点评:本题综合考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理.判定一条直线是圆的切线的三种方法:(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.(2)根据圆心到直线的距离来判定,即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(3)根据切线的判定定理来判定.
已知AB是⊙O的直径 弦AC平分∠BAD AD⊥CD于D BE⊥CD于E.求证:(1)CD是⊙O的切线;(2)CD2=AD?BE.