问题补充:
如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E.设CD=CB=,AD=9,AB=15.
求∠B的余弦值及AC的长.
答案:
解:如图,在AB上截取AF=AD,连接CF,
∵AC平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
在△ADC和△AFC中,
∵,
∴△ADC≌△AFC(SAS),
又∵AD=9,CD=CB=,
∴AF=AD=9,CF=CD=CB=,
∴△CBF是等腰三角形,
又∵CE⊥AB于E,AB=15,
∴EF=EB=BF=(AB-AF)=3,
在Rt△BEC中,cosB===,
在Rt△BEC中,CB=,BE=3,
由勾股定理得:CE==5,
在Rt△AEC中,CE=5,AE=AF+EF=9+3=12,
由勾股定理得:AC==13,
∴∠B的余弦值为,AC的长为13.
解析分析:在AB上截取AF=AD,由AC为角平分线得到一对角相等,再由公共边AC,利用SAS可得出三角形ADC与三角形AFC全等,利用全等三角形的对应边相等得到CD=CF,由CD=CB,得到CF=CB,即三角形BCF为等腰三角形,再由CE垂直于BF,利用三线合一得到E为BF的中点,进而由AE-AF求出EF的长,即为EB的长,在三角形CEB中,利用锐角三角形函数定义及BC与EB的长,求出∠B的余弦值,再利用勾股定理求出CE的长,在直角三角形ACE中,由AE与CE的长,利用勾股定理即可求出AC的长.
点评:此题属于解直角三角形的题型,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,等腰三角形的三线合一性质,勾股定理,以及锐角三角函数定义,利用了转化及数形结合的思想,其中作出相应的辅助线是本题的突破点.