问题补充:
如图,四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O,已知:AC=BD,∠OBC=∠OCB.
(1)求证:AB=DC;
(2)判别结论“四边形ABCD一定是等腰梯形”是否正确,若正确请证明,若不正确请举出一个反例.
答案:
(1)证明:∵∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC,
∵AC=BD,
∴OA=OD,
在△AOB和△DOC中
∵,
∴△AOB≌△DOC(SAS),
∴AB=DC.
(2)四边形ABCD一定是等腰梯形,
证明:∵OA=OD,OB=OC,
∴∠OAD=∠ODA,∠OBC=∠OCB,
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°,∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,∠BOC=∠AOD,
∴∠ADO=∠OBC,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是梯形,
∵由(1)知:AB=DC,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
解析分析:(1)求出OC=OB,求出AO=DO,根据SAS证△AOB≌△DOC,根据全等三角形的性质推出即可;(2)根据等腰三角形性质推出∠OAD=∠ODA,∠OBC=∠OCB,根据三角形的内角和定理和对顶角相等得出∠ADO=∠OBC,推出AD∥BC,得出梯形ABCD,根据AB=DC即可得出等腰梯形ABCD.
点评:本题考查了等腰梯形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,平行线的性质和判定,三角形的内角和定理等知识点,主要考查了学生的推理能力,题目比较好,是一道综合性比较强的题目.
如图 四边形ABCD的对角线AC DB相交于点O 已知:AC=BD ∠OBC=∠OCB.(1)求证:AB=DC;(2)判别结论“四边形ABCD一定是等腰梯形”是否正确