问题补充:
已知二次函数y=(x-1)(x-4)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左边),与y轴交于点C.
(1)求出A、B、C三点的坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)在y轴上是否存在点P,使P、A、C能组成以AC为腰的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案:
解:(1)当x=0时y=(-1)×(-4)=4
∴C的坐标(0,4)
当y=0时设(x-1)(x-4)=0
解得x1=1?x2=4
∵A在B的左边
∴A(1,0)B(4,0)…(2分)
(2)∵C(0,4)、A(1,0)、B(4,0)
∴OC=4??AB=3
∴S△ABC=OC?AB=6?…(4分)
(3)存在.
设点P的坐标为(0,y),
由(2)知OC=4,OA=1
在RT△AOC中AC=
∴C为顶角的顶点时,则CP=AC,
即
解得
∴当P为(0,)或(0,)时P、A、C组成的AC为腰的等腰△…(6分)
∴A为顶角的顶点时,则AC=AP
∵OA⊥PC
∴OC=OP??…(8分)
即|y|=4,
解得y1=-4,y2=4(舍去)
∴当P(0,-4)时P、A、C组成了以AC为腰的等腰△…(8分)
综上所述当P的坐标为,,(0,-4)时是P、A、C组成了以AC为腰的等腰△…(9分)
解析分析:(1)令x=0,代入二次函数求得y的值作为与y轴交点坐标的纵坐标,将y=0代入二次函数求得x的值作为与x轴交点的横坐标;(2)利用上题求得的与坐标轴的交点坐标得到OC=4、AB=3,就可以求S△ABC;(3)假设存在.设点P的坐标为(0,y),分C为顶角的顶点时和A为顶角的顶点时两种情况求得点P的坐标即可.
点评:本题考查了二次函数的综合知识,解题的关键是正确的求出抛物线与坐标轴的交点坐标,这是下一步做题的基础.
已知二次函数y=(x-1)(x-4)的图象与x轴交于A B两点(A在B的左边) 与y轴交于点C.(1)求出A B C三点的坐标;(2)求△ABC的面积;(3)在y轴上