问题补充:
已知:如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D、E分别在AB、AC上,且AD=AE=2.若点F从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向移动,当点F运动x(x>0)秒时,射线FD与过点A且平行于BC的直线交于点G,连接GE交AD于点O,并延长交BC延长线于点H.
(1)求△EGA的面积S与点F运动时间x的函数关系;
(2)当时间x为多少秒时,GH⊥AB;
(3)证明△GFH的面积为定值.
答案:
解:(1)如图,∵GA∥BC
∴
又∵AB=6,AD=2
∴DB=4
∵BF=t
∴
∴AG=t
过点E作EK⊥AG,垂足为K,
∵∠BCA=60°,
∴∠CAK=60°,
∴∠AEK=30°,
∵AE=2,
∴AK=1,根据勾股定理得:EK=,
∴S=AG?EK=×t×=t;
(2)如图,连接DE,由AD=AE可知,△ADE为等边三角形.
∵AB⊥HG,
根据等腰三角形的三线合一可知:AO=OD,∠AEO=∠DEO,
∵GA∥DE,
∴∠AGE=∠OED,
∴∠AGE=∠AEO,
∴AG=AE=2,
∴t=2,
∴t=4,
即当t=4时,AB⊥HG;
(3)∵GA∥BC,
∴,
∴,
∵DE∥BC,
∴,
∴FH=BC,
∵△ABC与△GFH的高相等,
∴S△GFH=S△ABC=×6×3 =9 ,
∴不论t为何值,△GFH的面积均为9 ;
解析分析:(1)在三角形EGA中,底边AG的长可通过相似三角形ADG和BDF利用相似三角形的对应边成比例求出,而AG边上的高可用AE?sin60°来表示,然后利用三角形的面积公式即可得出S、t的函数关系式;(2)当AB⊥GE时,连接DE,由已知推出三角形ADE是等边三角形,可得∠AEG=60°,即∠AEG=∠DEO=30°,然后根据AG与DE的平行得出内错角的相等求出∠AGE=30°,进而根据等角对等边可得出AG=AE=2,在(1)中已经求出了AG的表达式),根据得出的等量关系即可求出t的值;(3)由GA∥BC,DE∥BC,分别得出比例,经过转化可得出FH=BC,又由图观察可知△ABC与△GFH的高相等,所以△ABC与△GFH的面积相等,求出等边三角形ABC的面积即为三角形GFH的面积,所以△GFH的面积为定值.
点评:本题主要考查了学生掌握相似三角形的性质与判断,同时要求学生掌握等边三角形的有关性质,会利用等边三角形中特殊角来求值,本题要求学生必须掌握求定值的方法,锻炼了学生的逻辑思维能力,提高了学生结合条件寻求结论解决数学问题的能力.
已知:如图 △ABC是边长为6的等边三角形 点D E分别在AB AC上 且AD=AE=2.若点F从点B开始以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向移动 当点F运动x(x