已知m∈R 函数f（x）=（x2+mx+m）ex（1）若函数没有零点 求实数m的取值范围；（2）

问题补充：

已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex

（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；

（2）当m=0时，求证f（x）≥x2+x3．

答案：

解：（1）∵m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex?没有零点，

∴方程 x2+mx+m=0 无解，∴△=m2-4m＜0，解得 0＜m＜4，

故实数m的取值范围为（0，4）．

（2）当m=0时，f（x）=x2 ?ex，不等式等价于 x2 ?ex≥x2+x3 ，

等价于 x2 ?ex-x2 -x3≥0，等价于 x2（ex -x-1）≥0．

令g（x）=ex -x-1，当x＜0时，g′（x）=ex -1＜0，故g（x）=ex -x-1 在（-∞，0）上是减函数．

当x＞0时，g′（x）=ex -1＞0，故g（x）=ex -x-1 在（0，+∞）上是增函数．

故g（x）=ex -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（0）=0，故g（x）≥0恒成立，

∴x2（ex -x-1）≥0成立，故要证的不等式成立．

解析分析：（1）由题意可得方程 x2+mx+m=0 无解，故有△=m2-4m＜0，由此求得实数m的取值范围．（2）当m=0时，f（x）=x2 ?ex，要证的不等式等价于x2（ex -x-1）≥0．令g（x）=ex -x-1，利用导数可得g（x）=ex -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（0）=0，g（x）≥0恒成立，x2（ex -x-1）≥0成立，从而得到要证的不等式成立．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．

已知m∈R 函数f（x）=（x2+mx+m）ex（1）若函数没有零点 求实数m的取值范围；（2）当m=0时 求证f（x）≥x2+x3．