问题补充:
直角坐标系中,正方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上,A点的坐标为(O,4).
(1)如图1,将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°得正方形ODEF,边DE交BC于G,求G点坐标.
(2)如图2,⊙O1与正方形ABCO四边都相切,直线MQ切⊙O1于P,分别交y轴、x轴、线段BC于M、N、Q.求证:O1N平分∠MO1Q.
(3)如图3,点H与点B关于y轴对称,T为CA延长线上一点,TS为过T、H、A的⊙O2直径,对于结论:①AT+AS;②AT-AS.其中只有一个正确,请作出判断并证明你的结论,求出其值.
答案:
(1)解:连接OG,如图①,
∵正方形OABC绕点O顺时针旋转30°得正方形ODEF,
∴∠AOD=30°,OD=AB,
∴∠DOC=60°,
∵OD=OC,∠D=∠OCG,OG公共,
∴Rt△ODG≌Rt△OCG,
∴∠DOG=∠COG,
∴∠COG=30°,
∵A点的坐标为(O,4),四边形OABC为正方形,
∴OC=OA=4,
∴CG=OC=,
∴G点坐标为(4,);
(2)证明:∵BQ∥AM,
∴∠BQM+∠AMQ=180°,
根据切线长定理,∠O1QM+∠O1MQ=180°×=90°,
∴∠MO1Q=180°-90°=90°,
由切线长定理∠NO1Q=45°,
∴O1M平分∠MO1Q;
(3)解:AT-AS的值是定值为4.
在AT上取点V,使TV=AS,即AT-AS=AV,
∵AS⊥AC,
∴∠THS=∠TAS=90°,
∵H(-4、4),A(0、4),
∴AH⊥AO;
又∵∠OAC=45°,
∴∠TAH=45°,
∵∠THS=∠TAS=90°,
∴∠TSH=45°,
∴HT=HS;
又∠HTV=∠HSA,TV=AS,
∴△HTV≌△HSA,
∴△HAV为等腰直角三角形,
∴AT-AS=AV=4.
解析分析:(1)连接OG,如图①.利用图形的旋转前后大小不变,可得出三角形全等.(2)由切线长定理证得∠MO1Q=90°,由切线长定理或其他方法证得∠NO1Q=45°,O1N平分∠MO1Q;(3)在AT上取点V,使TV=AS,构造出全等三角形△HTV≌△HSA,判断出△HAV为等腰直角三角形,求得AT-AS=AV=4为定值.
点评:本题考查了圆的综合题.解(3)题时,构造全等三角形,比作辅助线难度要大,但确是一种有效的解题方法.
直角坐标系中 正方形OABC的边OC OA分别在x轴 y轴上 A点的坐标为(O 4).(1)如图1 将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°得正方形ODEF 边DE交B