问题补充:
如图,△ABC中AB=6cm,BC=4cm,∠B=60°.动点P,Q分别从A,B两点同时出发,分别沿AB,BC方向匀速移动.它们的速度分别为2cm/s和lcm/s,当点P到达点B时,P,Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;当点P运动到什么位置时,四边形APQC的面积最小,并求出最小面积.
答案:
解:(1)根据题意,得AP=2tcm,BQ=tcm,
∵AB=6cm,
∴BP=(6-2t)?cm,
若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°,
①当∠BQP=90°时,∵∠B=60°,
∴∠BPQ=90°-60°=30°,
∴BQ=BP,
即t=(6-2t),
解得t=(秒).
②当∠BPQ=90°时,∵∠B=60°,
∴∠BQP=90°-60°=30°,
∴BP=BQ,
即6-2t=t,
解得t=(秒),
答:当t=秒或t=秒时,△PBQ是直角三角形;
(2)过P作PM⊥BC于M,
则Rt△PBM中,sinB=,
∴PM=PB?sin60°=(6-2t)=(3-t),
S△PBQ=BQ?PM=t?(3-t),
过A作AN⊥BC于N,
则Rt△ABN中,sinB=,
∴AN=AB?sin60°=6×=3,
∴S△ABC=BC?AN=×4×3=6,
∴y=S△ABC-S△PBQ=6-t?(3-t)=t2-t+6,
∴y与x之间的函数关系式为y=t2-t+6,
又∵y=t2-t+6=(t-)2+,
∴当t=时,即AP=2t=3(cm),点P运动到边AB的中点时,四边形APQC的面积最小,其最小面积为.
解析分析:(1)用t表示出AP、BQ、BP,然后分①∠BQP=90°,②∠BPQ=90°两种情况,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半列式计算即可得解;
(2)过P作PM⊥BC于M,求出PM的长度,然后表示出△PBQ的面积,在过点A作AN⊥BC于N,然后求出AN的长度,再求出△ABC的面积,然后根据S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ整理即可得到y与t的函数关系式,再根据二次函数的最值问题求出t的值,即可得到点P得到位置.
点评:本题考查了二次函数综合题型,主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,二次函数的最值问题,解直角三角形,(1)要注意分情况讨论,(2)根据四边形APQC的面积等于两个三角形的面积的差列式是解题的关键,也是常用的方法之一.
如图 △ABC中AB=6cm BC=4cm ∠B=60°.动点P Q分别从A B两点同时出发 分别沿AB BC方向匀速移动.它们的速度分别为2cm/s和lcm/s 当