问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3.取BO的中点D,连接CD、MD和OC.
(1)求证:CD是⊙M的切线;
(2)二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q,使S△QAM=S△PDM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
(1)证明:连接CM,
∵AO是直径,M是圆心,
∴CM=OM,∠ACO=90°,
∴∠MOC=∠MCO.
∵D为OB的中点,
∴CD=OD,
∴∠DOC=∠DCO.
∵∠DOC+∠MOC=90°,
∴∠DCO+∠MCO=90°,
即∠MCD=90°,
∴CD是⊙M的切线;
(2)解:∵∠ACO=∠AOB=90°,∠OAB=∠OAB,
∴△ACO∽△AOB,
∴,
∴,
∴AB=.
在Rt△AOB中,由勾股定理,得
BO=,
∵D为OB的中点,
∴OD=OB=,
∴D(0,).
∵OM=AM=OA=,
∴M(,0).设抛物线的解析式为y=a(x-)(x-5),由题意,得
=a(0-)(0-5),
解得:a=,
∴抛物线的解析式为:y=(x-)(x-5),
=(x-)2-.
连接AD交对称轴于P,设直线AD的解析式为y=kx+b,由题意,得
,
解得:,
∴直线AD的解析式为:y=-x+,
当x=时,
y=,
∴P(,);
(3)解:存在.
∵S△PDM=S△ADM-S△APM,
∴S△PDM=××-××,
=,
∴S△QAM==.
设Q的坐标为m,由题意,得
,
∴|m|=,
∴m=±,
当m=时,
=(x-)2-.
x1=,x2=,
当m=-时,
-=(x-)2-.
x=.
∴Q(,),(,),(,-).
解析分析:(1)连接CM,可以得出CM=OM,就有∠MOC=∠MCO,由OA为直径,就有∠ACO=90°,D为OB的中点,就有CD=OD,∠DOC=∠DCO,由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论;
(2)根据条件可以得出△ACO∽△AOB而求出,从而求出AB,在Rt△AOB中由勾股定理就可以求出OB的值,根据D是OB的中点就可以求出D的坐标,由待定系数法就可以求出抛物线的解析式,求出对称轴,根据轴对称的性质连接AD交对称轴于P,先求出AD的解析式就可以求出P的坐标;
(3)根据S△PDM=S△ADM-S△APM而求出其值就可以表示出S△QAM的大小,设Q的坐标为m,根据三角形的面积公式就可以求出横坐标而得出结论.
点评:本题考查圆周角定理的运用,勾股定理的运用,圆的切线的判定定理的运用,待定系数法求函数的解析式的运用,抛物线的顶点式的运用,三角形的面积公式的运用,轴对称性质的运用,解答时求出抛物线的解析式是解答本题的关键.
如图 在平面直角坐标系中 直线AB交x轴于点A(5 0) 交y轴于点B AO是⊙M的直径 其半圆交AB于点C 且AC=3.取BO的中点D 连接CD MD和OC.(1)