问题补充:
直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=AD=10,DC=4,动圆⊙O与AD边相切于点M,与AB边相切于点N,过点D作⊙O的切线DP交边CB于点P.
(1)当⊙O与BC相切时(如图1),求CP的长;
(2)当⊙O与BC边没有公共点时,设⊙O的半径为r,求r的取值范围;
(3)若⊙O′是△CDP的内切圆(如图2),试问∠ODO′的大小是否改变?若认为不变,请求出∠ODO′的正切值;若认为改变,请说明理由.
答案:
解:(1)设⊙O与BC相切于点Q,与DP相切于点K,
∵⊙O与AD边相切于点M,与AB边相切于点N,
∴DM=DK,AM=AN,BN=BQ,PQ=PK,
∴DK+PK+AN+BN=DM+PQ+AM+BQ,即DP+AB=BP+AD.
∵AB=AD,
∴DP=BP.
过D作DH⊥AB于H,
∵ABCD为直角梯形,DC∥AB,∠ABC=90°,
∴DH=BC,AH=AB-DC=6,
∵AD=10,
∴BC=8.
设CP=x,则BP=8-x,
则在Rt△DCP中,DC2+CP2=DP2,即16+x2=(8-x)2
∴x=3,即CP=3.
(2)图1中,延长AD、BC交于G,则⊙O为△ABG的内切圆,
∵DH⊥AB,
∴AB:AG=cosA=AH:AD,
∴AG=,
∴BG=,
∵,
∴=.
⊙O为△ABD的内切圆,
在Rt△CBD中,DC=4,CB=8,
∴BD=,
∵,
∴=,
∴.
(3)∠ODO′的大小不变.
∵⊙O与AD、DP相切,
∴∠1=∠2,
同理∠3=∠4,
∴∠ODO′=∠2+∠3==,
∵在△ABD中,AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
又∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠BDC,
∴∠ADB=∠BDC,
∴∠BDC=,
∴tan∠ODO’=tan=tan∠BDC==2.
解析分析:(1)设⊙O与BC相切于点Q,与DP相切于点K,由题意得DM=DK,AM=AN,BN=BQ,PQ=PK,则DP+AB=BP+AD,过D作DH⊥AB于H,根据四边形ABCD为直角梯形,得DH=BC,AH=6,设CP=x,则BP=8-x,则在Rt△DCP中,由勾股定理求得x即可;
(2)延长AD、BC交于G,则⊙O为△ABG的内切圆,即可求得AG,BG,再由三角形的面积公式求出圆的半径,即可得出半径的取值范围;
(3)由题意得出∠ODO′=,再因为AB∥CD,则∠ABD=∠BDC,∠ADB=∠BDC,∠BDC=,从而求得tan∠ODO′的值.
点评:本题是一道综合性很强的题目,考查了三角形的内切圆和内心、勾股定理、切线长定理、解直角三角形等知识点,难度较大.
直角梯形ABCD中 AB∥CD ∠ABC=90° AB=AD=10 DC=4 动圆⊙O与AD边相切于点M 与AB边相切于点N 过点D作⊙O的切线DP交边CB于点P.(