问题补充:
如图:等边三角形ABC的边长为1,P为AB边上的一个动点(不包括A、B),过P作PQ⊥BC于Q,过Q作QR⊥AC于R,再过R作RS⊥AB于S.设AP=x,AS=y.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量取值范围;
(2)若SP=,求AP的长;
(3)若S、P重合点为T,试说明当P、S不重合时,P、S中的哪一个更接近T点?将上述操作,即按逆时针方向,过垂足作相邻边的垂线,若操作不断进行,试依据你的结论,猜想无论P的初始位置如何,P、S…等这些点最终将会出现怎样的趋势?(只要直接写出结果)
答案:
解:(1)在直角三角形PBQ中,∠B=60°,BP=1-x,
∴BQ=(1-x);
在直角三角形ASR中,∠A=60°,AS=y,
∴AR=2y;
在直角三角形CQR中,∠C=60°,RC=1-AR=1-2y,
∴CQ=2-4y
∵BC=1
∴(1-x)+2-4y=1,即y=-x+(0<x<1)
(2)当S在P下方,
∵SP=,即y-x=
∴x+=-x+,解得x=
即AP=.
当S在P上方,
∵SP=,即x-y=,
∴x-=-x+,解得x=
即AP=.
(3)S更加接近T.
解析分析:(1)本题可先在直角三角形PBQ中,用x表示出BQ的长,然后在直角三角形ASR中用y表示出AR的长,进而在直角三角形QRC中用y表示出QC的长,然后根据BQ+QC=1来得出y,x的函数关系式.
(2)SP的长实际就是y-x或x-y的值,可联立(1)的函数关系式即可分别得出x即AP的长.
(3)点S应该更接近T点,点S将更接近点T,猜想无论P的初始位置如何,P、S…这些点最终将会无限接近于点T.点T是AB边上的一个三等分点,靠近点A的那一个,当AP=,AB=1,那么BP=,BQ=,QC=,CR=,AR=,AS=.即S,P重合.
点评:本题主要考查了等边三角形和直角三角形的性质以及定点、定值问题.在涉及定点和定值的问题中一般都有变量或动点,但最终的数值或点却是一定的.解决这类问题,一般都可采用特殊值或特殊的位置,探得定值或定点,如果需要的话再考虑证明.
如图:等边三角形ABC的边长为1 P为AB边上的一个动点(不包括A B) 过P作PQ⊥BC于Q 过Q作QR⊥AC于R 再过R作RS⊥AB于S.设AP=x AS=y.(