问题补充:
如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:①②→③,①③→②,②③→①.
三个选项中正确的是________.
答案:
①②→③;②③→①
解析分析:三选项中正确的是①②→③;②③→①,①②→③正确,理由为:由AD为角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,利用角平分线定理得到DE=DF,由AD为公共边,利用HL可得出直角三角形AED与直角三角形AFD全等,由全等三角形的对应边相等得到AE=AF,利用三线合一得到AD垂直于EF,得证;②③→①,理由为:如图2,设AD的中点为O,连接EO,FO,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到OE=OF=OA=OD,得到A,E,F,D四点共圆,由直径AD垂直于EF,利用垂径定理得到AD为角平分线,得证.
解答:三选项中正确的是①②→③;②③→①,
①②→③正确,理由为:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
在Rt△AED和Rt△AFD中,
,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF,又∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥EF;②③→①正确.如下图,
设AD的中点为O,连接OE,OF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴OE,OF分别是Rt△ADE,Rt△ADF斜边上的中线,
∴OE=AD,OF=AD,
即点O到A、E、D、F的距离相等,
∴四点A、E、D、F在以O为圆心,AD为半径的圆上,AD是直径,
∴EF是⊙O的弦,
∵EF⊥AD,
∴∠DAE=∠DAF,
即AD平分∠BAC.
故
如图 △ABC中 E F分别是AB AC上的点.①AD平分∠BAC ②DE⊥AB DF⊥AC ③AD⊥EF.以此三个中的两个为条件 另一个为结论 可构成三个命题 即: